Å bryte ned den binomiale modellen for å verdsette et alternativ

I finansverdenen er Black-Scholes og verdsettelsesmodellene for binomialalternativ to av de viktigste begrepene i moderne finansteori. Begge brukes til å verdsette et alternativ, og hver har sine fordeler og ulemper.

Noen av de grunnleggende fordelene ved bruk av binomialmodellen er:

• en visning med flere perioder
• åpenhet
• evne til å innlemme sannsynligheter

I denne artikkelen skal vi utforske fordelene ved å bruke den binomiale modellen i stedet for Black-Scholes-modellen og gi noen grunnleggende trinn for å utvikle modellen og forklare hvordan den brukes.

Visning i flere perioder

Binomialmodellen gir et flerperiods syn på den underliggende formuesprisen samt prisen på opsjonen. I motsetning til Black-Scholes-modellen, som gir et numerisk resultat basert på innganger, tillater binomialmodellen beregning av eiendelen og opsjonen for flere perioder sammen med området for mulige resultater for hver periode (se nedenfor).

Fordelen med dette flerperiodesynet er at brukeren kan visualisere endringen i formuesprisen fra periode til periode og evaluere alternativet basert på beslutninger som tas på forskjellige tidspunkter. For et USA-basert alternativ, som kan utøves når som helst før utløpsdatoen, kan den binomiale modellen gi innsikt i når utøvelsen av opsjonen kan være tilrådelig og når den skal holdes i lengre perioder. Ved å se på verdas binomiale tre, kan en næringsdrivende på forhånd bestemme når en beslutning om en øvelse kan skje. Hvis opsjonen har en positiv verdi, er det muligheten for trening, mens hvis opsjonen har en verdi som er mindre enn null, bør den holdes i lengre perioder.

åpenhet

Nært beslektet med flerårsevalueringen er binomialmodellens evne til å gi gjennomsiktighet i eiendelens underliggende verdi og alternativet etter hvert som tiden går. Black-Scholes-modellen har fem innganger:

1. Risikofri rente
2. Treningsprisen
3. Gjeldende pris på eiendelen
4. Tid til forfall
5. Antydet volatilitet i formuesprisen

Når disse datapunktene legges inn i en Black-Scholes-modell, beregner modellen en verdi for alternativet, men virkningene av disse faktorene blir ikke avslørt på periodisk basis. Med binomialmodellen kan en næringsdrivende se endringen i den underliggende formuesprisen fra periode til periode og den tilsvarende endringen i opsjonsprisen.

Innlemme sannsynligheter

Den grunnleggende metoden for å beregne den binomiale opsjonsmodellen er å bruke samme sannsynlighet hver periode for suksess og fiasko inntil alternativet utløper. Imidlertid kan en næringsdrivende innlemme forskjellige sannsynligheter for hver periode basert på ny informasjon innhentet når tiden går.

For eksempel kan det være en sjanse på 50/50 at den underliggende formuesprisen kan øke eller synke med 30 prosent i løpet av en periode. For den andre perioden kan imidlertid sannsynligheten for at den underliggende formuesprisen øke øke til 70/30. For eksempel, hvis en investor vurderer en oljebrønn, er den investoren ikke sikker på hva verdien av den oljebrønnen er, men det er en sjanse på 50/50 at prisen vil stige. Hvis oljeprisene øker i periode 1, noe som gjør oljen godt verdifull og det grunnleggende i markedet nå peker på fortsatt økning i oljeprisene, kan sannsynligheten for ytterligere prisstigning nå være 70 prosent. Binomialmodellen gir mulighet for denne fleksibiliteten; Black-Scholes-modellen gjør det ikke.

Utvikle modellen

Den enkleste binomiale modellen vil ha to forventede avkastninger med sannsynlighet på opptil 100 prosent. I vårt eksempel er det to mulige utfall for oljebrønnen på hvert tidspunkt. En mer kompleks versjon kan ha tre eller flere forskjellige utfall, som hver gis en sannsynlighet for forekomst.

For å beregne avkastningen per periode fra tid null (nå), må vi gjøre en bestemmelse av verdien av den underliggende eiendelen en periode fra nå. I dette eksemplet antar vi følgende:

• Pris på underliggende eiendel (P): 500 dollar
• Utøvelsespris for kjøpsopsjon (K): $ 600
• Risikofri rente for perioden: 1 prosent
• Prisendring hver periode: 30 prosent opp eller ned

Prisen på den underliggende eiendelen er $ 500, og i periode 1 kan den enten være verdt $ 650 eller $ 350. Det tilsvarer en økning eller reduksjon på 30 prosent i en periode. Siden utøvelsesprisen for samtalealternativene vi har er $ 600, hvis den underliggende eiendelen ender opp med å være mindre enn $ 600, vil verdien av samtaleopsjonen være null. På den annen side, hvis den underliggende eiendelen overstiger utnyttelsesprisen på $ 600, vil verdien av anropsopsjonen være forskjellen mellom prisen på den underliggende eiendelen og utøvelsesprisen. Formelen for denne beregningen er [maks (PK), 0].

maks [(P − K), 0] hvor: P = Pris på underliggende eiendelK = Utnyttelseskurs for samtalealternativ \ begynne {justert} & \ maks {\ venstre [\ venstre (PK \ høyre), 0 \ høyre]} \ \ \\ & \ textbf {hvor:} \\ & P = \ text {Pris på underliggende eiendel} \\ & K = \ text {Anropspris for utøvelse av anrop} \\ \ slutt {justert} maks [(P − K), 0] hvor: P = Pris på underliggende eiendelK = Utnyttelseskurs for kjøpsopsjon

Anta at det er 50 prosent sjanse for å gå opp og 50 prosent sjanse for å gå ned. Ved å bruke periode 1-verdiene som et eksempel, beregnes dette som

maks [($ 650− $ 600), 0] ∗ 0.5 + maks [($ 350− $ 600), 0] ∗ 0.5 = $ 50 ∗ 0.5 + $ 0 = $ 25 \ begynne {justert} & \ max {\ venstre [\ venstre (\ $ 650 - \ $ 600 \ høyre), 0 \ høyre]} * 0.5+ \ maks {\ venstre [\ venstre (\ $ 350 - \ $ 600 \ høyre), 0 \ høyre]} * 0.5 \\ & = \ $ 50 * 0, 5 + \ $ 0 = \ $ 25 \\ \ slutt {justert} maks [($ 650− $ 600), 0] ∗ 0, 5 + maks [($ 350− $ 600), 0] ∗ 0, 5 = $ 50 ∗ 0, 5 + $ 0 = $ 25

For å få den nåværende verdien av anropsalternativet, må vi tilbakestille $ 25 i periode 1 tilbake til periode 0, som er

$ 25 / (1 + 1%) = $ 24, 75 \ $ 25 / \ venstre (1 + 1 \% \ høyre) = \ $ 24, 75 $ 25 / (1 + 1%) = $ 24, 75

Du kan nå se at hvis sannsynlighetene endres, vil også den forventede verdien av den underliggende eiendelen endre seg. Hvis sannsynligheten bør endres, kan den også endres for hver påfølgende periode og trenger ikke nødvendigvis å være den samme gjennomgående.

Binomialmodellen kan enkelt utvides til flere perioder. Selv om Black-Scholes-modellen kan beregne resultatet av en utvidet utløpsdato, utvider binomialmodellen beslutningspunktene til flere perioder.

Bruker til den binomiale modellen

I tillegg til bruken som metode for å beregne verdien av et alternativ, kan den binomiale modellen også brukes til prosjekter eller investeringer med høy grad av usikkerhet, kapitalbudsjettering og ressursfordelingsbeslutninger, og prosjekter med flere perioder eller en innebygd alternativ for å enten fortsette eller forlate prosjektet på bestemte tidspunkter.

Et enkelt eksempel er et prosjekt som innebærer boring etter olje. Usikkerheten til denne typen prosjekter om landet som bores i det hele tatt har olje, mengden olje som kan bores, hvis olje blir funnet, og prisen som oljen kan selges når den er utvunnet.

Binomialalternativsmodellen kan hjelpe med å ta beslutninger på hvert punkt i oljeboringsprosjektet. Anta for eksempel at vi bestemmer oss for å bore, men oljebrønnen vil bare være lønnsom hvis vi finner nok olje og prisen på olje overstiger et visst beløp. Det vil ta en hel periode å bestemme hvor mye olje vi kan utvinne samt prisen på olje på det tidspunktet. Etter den første perioden (for eksempel ett år), kan vi ta utgangspunkt i disse to datapunktene om vi skal fortsette å bore eller forlate prosjektet. Disse beslutningene kan tas kontinuerlig til et punkt er nådd der det ikke er noen verdi å bore, på hvilket tidspunkt brønnen vil bli forlatt.

Bunnlinjen

Binomialmodellen gir en mer detaljert oversikt ved å tillate visninger i flere perioder av den underliggende formuesprisen og prisen på opsjonen i flere perioder, samt rekke mulige resultater for hver periode. Selv om både Black-Scholes-modellen og binomialmodellen kan brukes til å verdsette alternativer, har binomialmodellen et bredere spekter av bruksområder, er mer intuitivt og er enklere å bruke.