Varighet og konveksitet for å måle obligasjonsrisiko

Varighet og konveksitet er to verktøy som brukes til å håndtere risikoeksponeringen for renteinvesteringer. Varighet måler obligasjonens følsomhet for renteendringer. Konveksitet knytter seg til samspillet mellom en obligasjons kurs og dens avkastning når det opplever endringer i renten.

Med kupongobligasjoner er investorer avhengige av en beregning som kalles varighet for å måle en obligasjons kursfølsomhet for endringer i rentene. Fordi en kupongobligasjon utfører en rekke betalinger over hele levetiden, trenger investorer med rente på måter å måle den gjennomsnittlige løpetiden på en obligasjons lovede kontantstrøm for å tjene som en sammendrag av statistikken over obligasjonens effektive løpetid. Varigheten oppnår dette, slik at rentebærende investorer mer effektivt måler usikkerhet når de forvalter porteføljene.

Viktige takeaways

• Med kupongobligasjoner er investorene avhengige av en beregning som kalles "varighet" for å måle en obligasjons kursfølsomhet for endringer i rentene.
• Ved å bruke et gaphåndteringsverktøy kan bankene likestille varigheten på eiendeler og forpliktelser, og effektivt immunisere deres samlede stilling fra renteutviklingen.

Bond's varighet

I 1938 kalte den kanadiske økonomen Frederick Robertson Macaulay det effektive løpetidskonseptet "varigheten" av obligasjonen. Dermed foreslo han at denne varigheten ble beregnet som det veide gjennomsnittet av tidspunktene for løpetid for hver kupong, eller hovedbetaling, som obligasjonen foretar. Macaulays varighetsformel er som følger:

D = ∑i = 1Tt ∗ C (1 + r) t + T ∗ F (1 + r) t∑i = 1TC (1 + r) t + F (1 + r) twhere: D = Obligasjonens MacAulay varighetT = antall perioder frem til forfalli = ith tidsperioden C = periodisk kupongbetalingr = periodisk avkastning til forfallF = pålydende ved forfall \ begynne {justert} & D = \ frac {\ sum_ {i = 1} ^ T {\ frac {t * C} {\ venstre (1 + r \ høyre) ^ t}} + \ frac {T * F} {\ venstre (1 + r \ høyre) ^ t}} {\ sum_ {i = 1} ^ T {\ frac {C} {\ venstre (1 + r \ høyre) ^ t}} + \ frac {F} {\ venstre (1 + r \ høyre) ^ t}} \\ \ textbf {hvor:} \\ & D = \ text {Obligasjonens MacAulay-varighet} \\ & T = \ text {antall perioder frem til forfall} \\ & i = \ text {the} i ^ {th} \ text {tidsperiode} \\ & C = \ text {periodisk kupongbetaling} \\ & r = \ text {periodisk avkastning til forfall} \\ & F = \ text {pålydende verdi ved forfall} \\ \ end {alger} der: D = ∑i = 1T (1 + r) tC + (1 + r) tF ∑i = 1T (1 + r) tt ∗ C + (1 + r) tT ∗ F D = Obligasjonens MacAulay-varighetT = tallet av perioder frem til forfalli = ith tidsperioden C = periodisk kupongbetalingr = periodisk avkastning til forfallF = pålydende ved forfall ligheten

Varighet i renteforvaltning

Varighet er avgjørende for å forvalte renteporteføljer av følgende grunner:

1. Det er en enkel sammendragsstatistikk for den effektive gjennomsnittlige løpetiden på en portefølje.
2. Det er et viktig verktøy for å immunisere porteføljer mot renterisiko.
3. Det estimerer rentefølsomheten til en portefølje.

Varigheten beregner følgende egenskaper:

• Varigheten av en null-kupongobligasjon tilsvarer tid til forfall.
• Når du holder løpetiden konstant, er en obligasjons varighet lavere når kupongrenten er høyere på grunn av virkningen av tidlig høyere kupongbetalinger.
• Når du holder kupongrenten konstant, øker en obligasjons varighet vanligvis med løpetid. Men det er unntak, som for instrumenter som dyptrabattobligasjoner, der varigheten kan falle med økning i løpetidstider.
• Hvis du holder andre faktorer konstant, er varigheten av kupongobligasjoner høyere når obligasjonenes avkastning til løpetid er lavere. For obligasjoner med null kupong tilsvarer varigheten imidlertid tid til forfall, uavhengig av avkastning til forfall.
• Varigheten av nivået perpetuity er (1 + y) / y. For eksempel, med en avkastning på 10%, vil varigheten av evigvarighet som betaler $ 100 årlig være 1, 10 / 0, 10 = 11 år. Imidlertid vil det med en avkastning på 8% være 1, 08 / 0, 08 = 13, 5 år. Dette prinsippet gjør det åpenbart at modenhet og varighet kan variere mye. Et eksempel: modedigheten til evigvarigheten er uendelig, mens instrumentets varighet på 10% utbytte bare er 11 år. Nåverdi-vektet kontantstrøm tidlig i evigvarens levetid dominerer beregningen av varighet. (For mer informasjon om porteføljestyring, les Equity Portfolio Management Mechanics og forbereder deg på en karriere som porteføljeforvalter .)

Varighet for Gap Management

Mange banker viser misforhold mellom løpetid på eiendeler og gjeld. Bankforpliktelser, som hovedsakelig er innskudd til kunder, er generelt kortsiktige og har lav varighetstatistikk. Derimot består en banks eiendeler hovedsakelig av utestående kommersielle og forbrukslån eller pantelån. Disse eiendelene har en tendens til å være av lengre varighet, og verdiene deres er mer følsomme for rentesvingninger. I perioder der rentene øker uventet, kan bankene lide drastiske reduksjoner i nettoformuen, hvis eiendelene synker ytterligere i verdien enn forpliktelsene.

En teknikk kalt gap management, utviklet på slutten av 1970-tallet og begynnelsen av 1980-tallet, er et mye brukt risikostyringsverktøy, der bankene prøver å begrense "gapet" mellom varighet på eiendeler og gjeld. Gap-ledelse er veldig avhengig av pantelån med justerbar rente (ARM), som sentrale komponenter i å redusere varigheten av porteføljer av bankverdier. I motsetning til konvensjonelle pantelån, synker ikke armonser i verdi når markedsrentene øker, fordi rentene de betaler er bundet til gjeldende rente.

På den andre siden av balansen tjener innføringen av langsiktige bankbevis (CD-er) med faste løpetid for å forlenge varigheten av bankforpliktelser, og bidrar også til å redusere varighetsgapet. (Lær mer om økonomiske hull i å spille gapet .)

Forstå Gap Management

Bankene ansetter gapahåndtering for å likestille varighetene på eiendeler og forpliktelser, og effektivt immunisere deres samlede stilling fra renteutviklingen. I teorien er en banks eiendeler og forpliktelser omtrent like store. Derfor, dersom varighetene deres også er like, vil enhver endring i renten påvirke verdien av eiendeler og forpliktelser i samme grad, og renteendringer vil følgelig ha liten eller ingen endelig effekt på nettoverdien. Derfor krever nettoverdi immunisering en porteføljevarighet, eller gap, på null. (Hvis du vil lære mer om bankens eiendeler og forpliktelser, kan du lese Analyse av bankens årsregnskap .)

Institusjoner med fremtidige faste forpliktelser, som pensjonsfond og forsikringsselskaper, skiller seg fra banker ved at de opererer med blikket mot fremtidige forpliktelser. For eksempel er pensjonsfond forpliktet til å opprettholde tilstrekkelige midler til å gi arbeidstakere en inntektsstrøm ved pensjonering. Når rentene svinger, gjør det også verdien av eiendelene som er i fondet og den renten som disse eiendelene genererer inntekt med. Derfor kan porteføljeforvaltere ønske å beskytte (vaksinere) den fremtidige akkumulerte verdien av fondet på en eller annen måldato, mot renteutviklingen. Med andre ord, immunisering ivaretar varighetstilpassede eiendeler og forpliktelser, slik at en bank kan oppfylle sine forpliktelser, uavhengig av renteutviklinger. (Les mer om pensjonsfonders forpliktelser i Analyse av pensjonsrisiko .)

Konveksitet i renteforvaltning

Dessverre har varighet begrensninger når de brukes som et mål for rentefølsomhet. Mens statistikken beregner et lineært forhold mellom pris- og renteendringer i obligasjoner, er faktisk forholdet mellom endring i pris og rente konvekst.

I figur 1 representerer den buede linjen prisendringen, gitt en endring i avkastningen. Den rette linjen, tangent til kurven, representerer den estimerte prisendringen via varighetstatistikken. Det skyggelagte området avslører forskjellen mellom varighetsestimatet og den faktiske prisbevegelsen. Som indikert, jo større endring i rente, jo større er feilen i estimering av prisendringen på obligasjonen.

Figur 1

Konveksitet, et mål på krumningen av endringene i kursen på en obligasjon, i forhold til endringer i rentene, løser denne feilen ved å måle endringen i varighet, etter hvert som rentene svinger. Formelen er som følger:

C = d2 (B (r)) B ∗ d ∗ r2where: C = konveksitetB = obligasjonsprisen = renten vurdert = varighet \ begynne {justert} & C = \ frac {d ^ 2 \ venstre (B \ venstre (r \ høyre) \ høyre)} {B * d * r ^ 2} \\ & \ textbf {hvor:} \\ & C = \ text {konveksitet} \\ & B = \ tekst {obligasjonsprisen} \\ & r = \ tekst {renten} \\ & d = \ tekst {varighet} \\ \ slutt {justert} C = B ∗ d ∗ r2d2 (B (r)) der: C = konveksitetB = obligasjonsprisen = renten vurdert = varighet

Generelt, jo høyere kupong, desto lavere er konveksiteten, fordi en 5% -obligasjon er mer følsom for renteendringer enn en 10% -obligasjon. På grunn av samtalefunksjonen vil konverterbare obligasjoner vise negativ konveksitet hvis avkastningen faller for lavt, noe som betyr at varigheten vil avta når avkastningen synker. Nullkupongobligasjoner har den høyeste konveksiteten, der forhold bare er gyldige når de sammenlignede obligasjonene har samme varighet og avkastning til løpetid. Tydeligvis: en høy konveksitetsobligasjon er mer følsom for endringer i rentene og bør følgelig være vitne til større svingninger i pris når rentene beveger seg.

Det motsatte er tilfelle for obligasjoner med lav konveksitet, hvis priser ikke svinger like mye når rentene endrer seg. Når det er tegnet et todimensjonalt plott, bør dette forholdet generere en lang skrånende U-form (derav begrepet "konveks").

Lavkupong- og nullkupongobligasjoner, som har en tendens til å ha lavere avkastning, viser den høyeste rentes volatiliteten. Rent teknisk betyr dette at den endrede varigheten av obligasjonen krever en større justering for å holde tritt med den høyere endringen i pris etter rentenivået. Lavere kupongrenter fører til lavere avkastning, og lavere avkastning fører til høyere grader av konveksitet.

(Hvis du vil lese om noen risikoer forbundet med konverterbare og andre obligasjoner, kan du lese samtalefunksjoner: Ikke bli fanget av vakt og selskapsobligasjoner: En introduksjon til kredittrisiko .)

Bunnlinjen

Stadig skiftende renter gir usikkerhet i renteinvesteringene. Varighet og konveksitet lar investorer kvantifisere denne usikkerheten, og hjelper dem med å administrere renteporteføljene.

For ytterligere lesing om rentepåføring, se Opprette den moderne renteporteføljen og vanlige obligasjonsinnkjøpsfeil .