Macaulay Duration vs. Modified Duration

Macaulay-varighet og endret varighet brukes hovedsakelig til å beregne varighetene på obligasjoner. Macaulay-varigheten beregner den vektede gjennomsnittlige tiden før en obligasjonseier vil motta obligasjonens kontantstrømmer. Omvendt måler modifisert varighet prisfølsomheten til en obligasjon når det er en endring i avkastningen til forfall.

Macaulay-varigheten

Macaulay-varigheten beregnes ved å multiplisere tidsperioden med den periodiske kupongutbetalingen og dele den resulterende verdien med 1 pluss den periodiske avkastningen hevet til løpetidspunktet. Deretter beregnes verdien for hver periode og legges sammen. Deretter legges den resulterende verdien til det totale antall perioder multiplisert med pålydende, delt med 1, pluss den periodiske avkastningen hevet til det totale antall perioder. Da blir verdien delt på gjeldende obligasjonspris.

Macaulay Varighet = (∑t = 1nt ∗ C (1 + y) t + n ∗ M (1 + y) n) Nåværende obligasjon pricwhere: C = periodisk kupongbetaling = periodisk avkastning M = obligasjonens løpetid = obligasjonsvarighet i perioder \ begynne {justert} & \ tekst {Macaulay Varighet} = \ frac {\ venstre (\ sum_ {t = 1} ^ {n} {\ frac {t * C} {\ venstre (1 + y \ høyre) ^ t}} + \ frac {n * M} {\ venstre (1 + y \ høyre) ^ n} \ høyre)} {\ tekst {Gjeldende obligasjonspris}} \\ & \ textbf {hvor:} \\ & C = \ text {periodisk kupongbetaling} \\ & y = \ text {periodisk avkastning} \\ & M = \ text {obligasjonens forfallsverdi} \\ & n = \ text {varighet av obligasjonen i perioder} \\ \ end {alignet} Macaulay Varighet = Gjeldende obligasjonspris (=t = 1n (1 + y) tt ∗ C + (1 + y) nn ∗ M) hvor: C = periodisk kupongbetaling = periodisk avkastningM = obligasjonens løpetid = varighet av obligasjoner i perioder

Prisen på en obligasjon beregnes ved å multiplisere kontantstrømmen med 1, minus 1, dividert med 1, pluss avkastningen til forfall, hevet til antall perioder dividert med den nødvendige avkastningen. Den resulterende verdien blir lagt til pålydende eller forfallsverdi av obligasjonen delt på 1, pluss avkastningen til forfall hevet til antall totalt antall perioder.

Anta for eksempel Macaulay-varigheten av en fem-årig obligasjon med en løpetid på $ 5 000 og en kupongrente på 6% er 4, 87 år ((1 * 60) / (1 + 0, 06) + (2 * 60) / (1 + 0, 06) ^ 2 + (3 * 60) / (1 + 0, 06) ^ 3 + (4 * 60) / (1 + 0, 06) ^ 4 + (5 * 60) / (1 + 0, 06) ^ 5 + (5 * 5000) / (1 + 0, 06) ^ 5) / (60 * ((1- (1 + 0, 06) ^ -5) / (0, 06)) + (5000 / (1 + 0, 06) ^ 5)).

Den endrede varigheten for denne obligasjonen, med et utbytte til løpetid på 6% for en kupongperiode, er 4, 59 år (4, 87 / (1 + 0, 06 / 1). Derfor, hvis avkastningen til forfall øker fra 6% til 7%, vil obligasjonens varighet vil avta med 0, 28 år (4, 87 - 4, 59).

Formelen for å beregne den prosentvise endringen i kursen på obligasjonen er endring i avkastningen multiplisert med den negative verdien av den endrede varigheten multiplisert med 100%. Denne resulterende prosentvise endringen i obligasjonen, for en renteøkning på 1%, beregnes å være -4, 59% (0, 01 * - 4, 59 * 100%).

Den endrede varigheten

Endret varighet = Macauley-varighet (1 + YTMn) der: YTM = avkastning til løpetid \ begynne {justert} & \ tekst {Modifisert varighet} = \ frac {\ text {Macauley-varighet}} {\ venstre (1 + \ frac { YTM} {n} \ høyre)} \\ & \ textbf {hvor:} \\ & YTM = \ tekst {avkastning til forfall} \\ & n = \ tekst {antall kupongperioder per år} \ end {alignet} Modifisert Varighet = (1 + nYTM) Macauley Varighet der: YTM = avkastning til løpetid

Den endrede varigheten er en justert versjon av Macaulay-varigheten, som står for endring av avkastning til løpetid. Formelen for den endrede varigheten er verdien av Macaulay-varigheten delt på 1, pluss avkastningen til forfall, delt på antall kupongperioder per år. Den endrede varigheten bestemmer endringene i en obligasjons varighet og pris for hver prosentvis endring i avkastningen til forfall.

Anta for eksempel at et seks-årig obligasjon har en pålydende verdi av $ 1000 og en årlig kupongrente på 8%. Macaulay-varigheten er beregnet til 4, 99 år ((1 * 80) / (1 + 0, 08) + (2 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 2 + (3 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 3 + (4 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 4 + (5 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 5 + (6 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 6 + (6 * 1000) / (1 + 0, 08) ^ 6) / (80 * (1- (1 + 0, 08) ^ -6) / 0, 08 + 1000 / (1 + 0, 08) ^ 6).

Den endrede varigheten for denne obligasjonen, med en utbytte til løpetid på 8% for en kupongperiode, er 4, 62 år (4, 99 / (1 + 0, 08 / 1). Derfor, hvis avkastningen til forfall øker fra 8% til 9%, obligasjonens varighet vil avta med 0, 37 år (4, 99 - 4, 62).

Formelen for å beregne den prosentvise endringen i kursen på obligasjonen er endring i avkastningen multiplisert med den negative verdien av den endrede varigheten multiplisert med 100%. Denne resulterende prosentvise endringen i obligasjonen, for en renteøkning fra 8% til 9%, er beregnet til -4, 62% ​​(0, 01 * - 4, 62 * 100%).

Derfor, dersom rentene stiger 1% over natten, forventes kursen på obligasjonen å falle 4, 62%.

De endrede varighetene og renteswappene

Endret varighet kan forlenges for å beregne hvor mange år det vil ta en renteswap for å tilbakebetale prisen som ble betalt for byttet. En renteswap er utveksling av ett sett med kontantstrømmer for et annet og er basert på rentespesifikasjoner mellom partene.

Den endrede varigheten beregnes ved å dele dollarverdien på en endring på ett basispoeng av et renteswapbytte eller en serie kontantstrømmer med nåverdien av serien med kontantstrømmer. Verdien blir deretter multiplisert med 10.000. Den endrede varigheten for hver serie av kontantstrømmer kan også beregnes ved å dele dollarverdien på en basispunktendring av serien med kontantstrømmer med den anslåtte verdien pluss markedsverdien. Fraksjonen blir deretter multiplisert med 10.000.

Den endrede varigheten på begge ben må beregnes for å beregne den endrede varigheten av renteswapet. Forskjellen mellom de to modifiserte varighetene er den endrede varigheten av rentebytteavtalen. Formelen for den endrede varigheten av rentebytteavtalen er den endrede varigheten av mottaksbenet minus den endrede varigheten av det betalende benet.

Anta for eksempel at bank A og bank B inngår en renteswap. Den endrede varigheten av mottaksbenet til en bytte beregnes som ni år og den endrede varigheten av det betalende benet beregnes som fem år. Den resulterende endrede varigheten av renteswapet er fire år (9 år - 5 år).

Sammenligning av Macaulay-varighet og endret varighet

Siden Macaulay-varigheten måler den vektede gjennomsnittlige tiden en investor må ha en obligasjon til nåverdien av obligasjonens kontantstrømmer er lik det beløpet som er betalt for obligasjonen, brukes det ofte av obligasjonsforvaltere som ønsker å styre risikoen for obligasjonsporteføljen med immuniseringsstrategier .

I kontrast identifiserer den endrede varigheten hvor mye varigheten endres for hver prosentvis endring i avkastningen, mens den måler hvor mye en endring i rentene påvirker prisen på en obligasjon. Dermed kan den endrede varigheten gi et risikomål for obligasjonsinvestorer ved å tilnærme hvor mye prisen på et obligasjon kan synke med en økning i renten. Det er viktig å merke seg at obligasjonspriser og renter har et omvendt forhold til hverandre.