Bayes teoremdefinisjon
Bayes teorem, oppkalt etter det britiske matematikeren Thomas Bayes fra 1700-tallet, er en matematisk formel for å bestemme betinget sannsynlighet. Teoremet gir en måte å revidere eksisterende prediksjoner eller teorier (oppdatere sannsynligheter) gitt nye eller ytterligere bevis. I finans kan Bayes teorem brukes til å rangere risikoen for å låne ut penger til potensielle låntakere.
Bayes teorem kalles også Bayes 'regel eller Bayes' lov og er grunnlaget for feltet Bayesianske statistikker.
Viktige takeaways
- Bayes teorem lar deg oppdatere sannsynlige sannsynligheter for en hendelse ved å innlemme ny informasjon.
- Bayes 'teorem ble oppkalt etter matematikeren Thomas Bayes fra 1700-tallet.
- Det blir ofte ansatt i finans for å oppdatere risikovurdering.
Formelen for Bayes teorem er
P (A∣B) = P (A⋂B) P (B) = P (A) ⋅P (B∣A) P (B) hvor: P (A) = Sannsynligheten for at A oppstår P (B) = Sannsynligheten for at B forekommerP (A∣B) = Sannsynligheten for at A gitt BP (B∣A) = Sannsynligheten for at B er gitt AP (A⋂B)) = Sannsynligheten for at både A og B oppstår \ begynne {justert} & P \ venstre (A | B \ høyre) = \ frac {P \ venstre side (A \ bigcap {B} \ høyre)} {P \ venstre (B \ høyre)} = \ frac {P \ venstre side (A \ høyre) \ cdotP \ venstre (B} {P \ venstre (B \ høyre)} \\ & \ textbf {hvor:} \\ & P \ venstre (A \ høyre) = \ tekst {Sannsynligheten for at A oppstår} \\ & P \ venstre (B \ høyre) = \ tekst {Sannsynligheten for at B oppstår} \\ & P \ venstre (A | B \ høyre) = \ tekst {Sannsynligheten for at en gitt B} \\ & P \ venstre (B | A \ høyre) = \ text {Sannsynligheten for at B er gitt A} \\ & P \ venstre (A \ bigcap {B} \ høyre)) = \ text {Sannsynligheten for at både A og B oppstår} \\ \ end {alger} P ( A∣B) = P (B) P (A⋂B) = P (B) P (A) ⋅P (B∣A) hvor: P (A) = Sannsynligheten for at A oppstår P (B) = The sannsynlighet for at B oppstår P (A∣B) = Sannsynligheten for at A gitt BP (B∣A) = Sannsynligheten for at B gitt AP (A⋂B)) = Sannsynligheten for at både A og B oppstår
Bayes 'teorem forklart
Anvendelser av teoremet er utbredt og ikke begrenset til det økonomiske riket. Som eksempel kan Bayes teorem brukes til å bestemme nøyaktigheten av medisinske testresultater ved å ta i betraktning hvor sannsynlig en gitt person har en sykdom og testens generelle nøyaktighet. Bayes teorem er avhengig av å innlemme tidligere sannsynlighetsfordelinger for å generere bakre sannsynligheter. Prioritert sannsynlighet, i Bayesianske statistiske inferanser, er sannsynligheten for en hendelse før nye data blir samlet inn. Dette er den beste rasjonelle vurderingen av sannsynligheten for et utfall basert på dagens kunnskap før et eksperiment utføres. Posterior sannsynlighet er den reviderte sannsynligheten for at en hendelse skal skje etter å ha tatt i betraktning ny informasjon. Posterior sannsynlighet beregnes ved å oppdatere den tidligere sannsynligheten ved å bruke Bayes teorem. Statistisk sett er den bakre sannsynligheten sannsynligheten for at hendelse A inntreffer gitt at hendelse B har skjedd.
Bayes teorem gir dermed sannsynligheten for en hendelse basert på ny informasjon som er, eller kan være relatert, til den hendelsen. Formelen kan også brukes til å se hvordan sannsynligheten for at en hendelse skal inntreffes påvirkes av hypotetisk ny informasjon, forutsatt at den nye informasjonen vil vise seg å være sann. Si for eksempel at et enkelt kort er trukket fra et komplett kortstokk på 52 kort. Sannsynligheten for at kortet er en konge er 4 delt med 52, som tilsvarer 1/13 eller omtrent 7, 69%. Husk at det er 4 konger i kortstokken. Anta at det blir avslørt at det valgte kortet er et ansiktskort. Sannsynligheten for at det valgte kortet er en konge, gitt at det er et ansiktskort, er 4 delt på 12, eller omtrent 33, 3%, ettersom det er 12 ansiktskort i en kortstokk.
Avlede Bayes teoremformel med et eksempel
Bayes teorem følger ganske enkelt fra aksiomene til betinget sannsynlighet. Betinget sannsynlighet er sannsynligheten for en hendelse gitt at en annen hendelse skjedde. For eksempel kan et enkelt sannsynlighetsspørsmål stille: "Hva er sannsynligheten for at aksjekursen til Amazon.com, Inc., (NYSE: AMZN) faller?" Betinget sannsynlighet tar dette spørsmålet et skritt videre ved å spørre: "Hva er sannsynligheten for at AMZN-aksjekursen faller gitt at Dow Jones Industrial Average (DJIA) -indeksen falt tidligere?"
Den betingede sannsynligheten for A gitt at B har skjedd, kan uttrykkes som:
Hvis A er: "AMZN-pris faller", er P (AMZN) sannsynligheten for at AMZN faller; og B er: "DJIA er allerede nede, " og P (DJIA) er sannsynligheten for at DJIA falt; så leser det betingede sannsynlighetsuttrykket som "sannsynligheten for at AMZN synker gitt en DJIA-nedgang er lik sannsynligheten for at AMZN-pris synker og DJIA synker over sannsynligheten for en nedgang i DJIA-indeksen.
P (AMZN | DJIA) = P (AMZN og DJIA) / P (DJIA)
P (AMZN og DJIA) er sannsynligheten for at både A og B oppstår. Dette er også det samme som sannsynligheten for at A forekommer multiplisert med sannsynligheten for at B oppstår gitt at A forekommer, uttrykt som P (AMZN) x P (DJIA | AMZN). At disse to uttrykkene er like, fører til Bayes teorem, som er skrevet som:
hvis, P (AMZN og DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)
deretter, P (AMZN | DJIA) = [P (AMZN) x P (DJIA | AMZN)] / P (DJIA).
Hvor P (AMZN) og P (DJIA) er sannsynligheten for at Amazon og Dow Jones faller, uten hensyn til hverandre.
Formelen forklarer forholdet mellom sannsynligheten for hypotesen før man ser beviset på at P (AMZN), og sannsynligheten for hypotesen etter å ha fått bevisene P (AMZN | DJIA), gitt en hypotese for Amazon gitt bevis i Dow.
Numerisk eksempel på Bayes teorem
Som et numerisk eksempel, kan du forestille deg at det er en medikamenttest som er 98% nøyaktig, noe som betyr at 98% av tiden det viser et sant positivt resultat for noen som bruker stoffet, og 98% av tiden det viser et sant negativt resultat for ikke-brukere av legemiddel. Anta deretter at 0, 5% av mennesker bruker stoffet. Hvis en person som er valgt ved tilfeldige tester som er positiv for stoffet, kan følgende beregning gjøres for å se om sannsynligheten for at personen faktisk er en bruker av stoffet.
(0, 98 x 0, 005) / [(0, 98 x 0, 005) + ((1 - 0, 98) x (1 - 0, 005))] = 0, 0049 / (0, 0049 + 0, 0199) = 19, 76%
Bayes teorem viser at selv om en person testet positivt i dette scenariet, er det faktisk mye mer sannsynlig at personen ikke er en bruker av stoffet.
Sammenlign Navn på leverandør av investeringskontoer Beskrivelse Annonsørens avsløring × Tilbudene som vises i denne tabellen er fra partnerskap som Investopedia mottar kompensasjon fra.