Optimaliser porteføljen din ved hjelp av normal distribusjon

Normaldistribusjonen er sannsynlighetsfordelingen som plotter alle dens verdier på en symmetrisk måte, og de fleste resultatene ligger rundt sannsynlighetens middel.

Normal (klokkekurve) distribusjon

Datasett (som høyden til 100 mennesker, karakterer oppnådd av 45 elever i en klasse osv.) Har en tendens til å ha mange verdier på samme datapunkt eller innenfor samme område. Denne fordelingen av datapunkter kalles normal- eller klokkekurvefordeling.

For eksempel, i en gruppe på 100 individer, kan 10 være under 5 fot høye, 65 kan stå mellom 5 og 5, 5 fot og 25 kan være over 5, 5 fot. Denne avgrensede distribusjonen kan plottes som følger:

Tilsvarende kan datapunkter som er tegnet i grafer for et gitt datasett, ligne forskjellige typer distribusjoner. Tre av de vanligste er venstrejusterte, høyre justerte og virvlete fordelinger:

Legg merke til den røde trendlinjen i hver av disse grafene. Dette indikerer omtrent datautviklingen. Den første, “VENSTRE justert distribusjon”, indikerer at et flertall av datapunktene faller i det nedre området. I den andre “RIGHT Allined Distribution” -grafen faller flertallet av datapunkter i den øvre enden av området, mens den siste, “Jumbled Distribution, ” representerer et blandet datasett uten noen klar trend.

Det er mange tilfeller der fordelingen av datapunkter har en tendens til å være rundt en sentral verdi, og den grafen viser en perfekt normalfordeling - like balansert på begge sider, med det høyeste antallet datapunkter konsentrert i sentrum.

Her er et perfekt, normalt distribuert datasett:

Den sentrale verdien her er 50 (som har flest antall datapunkter), og distribusjonen avtar jevnt mot ekstreme sluttverdier på 0 og 100 (som har færrest antall datapunkter). Normaldistribusjonen er symmetrisk rundt den sentrale verdien med halvparten av verdiene på hver side.

Mange eksempler fra det virkelige liv passer til klokkekurvefordelingen:

• Kast en god mynt mange ganger (si 100 ganger eller mer), og du vil få en balansert normalfordeling av hoder og haler.
• Rull et par rettferdige terninger mange ganger (si 100 ganger eller mer), og resultatet vil være en balansert, normalfordeling sentrert rundt tallet 7 og jevnt tilspissende mot ekstreme endeverdier på 2 og 12.
• Høyden på individer i en gruppe med betydelig størrelse og karakterer oppnådd av personer i en klasse følger begge normale distribusjonsmønstre.
• I finans, endringer i loggverdiene av valutakurser, prisindekser og aksjekurser antas normalt distribuert.

Risiko og avkastning

Enhver investering har to aspekter: risiko og avkastning. Investorer ser etter lavest mulig risiko for høyest mulig avkastning. Normaldistribusjonen kvantifiserer disse to aspektene med gjennomsnittet for avkastning og standardavvik for risiko. (For mer, se "Gjennomsnittlig variansanalyse.")

Gjennomsnittlig eller forventet verdi

En spesiell gjennomsnittlig endring av en aksjekurs kan være 1, 5% på daglig basis - noe som betyr at den i gjennomsnitt øker med 1, 5%. Denne middelverdien eller forventet verdi som angir avkastning kan nås ved å beregne gjennomsnittet på et stort nok datasett som inneholder historiske daglige kursendringer på den aksjen. Jo høyere gjennomsnitt, jo bedre.

Standardavvik

Standardavvik indikerer mengden som verdiene i gjennomsnitt avviker fra gjennomsnittet. Jo høyere standardavvik, jo mer risikabelt er investeringen, da det fører til mer usikkerhet.

Her er en grafisk fremstilling av det samme:

Dermed muliggjør den grafiske representasjonen av normalfordeling gjennom dens gjennomsnitt og standardavvik representasjon av både avkastning og risiko innenfor et klart definert område.

Det hjelper å vite (og være trygg med sikkerhet) at hvis noe datasett følger det normale distribusjonsmønsteret, vil dets gjennomsnitt gjøre det mulig for oss å vite hva som vender tilbake til å forvente, og standardavviket vil gjøre det mulig for oss å vite at rundt 68% av verdiene vil være innen 1 standardavvik, 95% innen 2 standardavvik og 99% av verdiene vil falle innenfor 3 standardavvik. Et datasett som har et gjennomsnitt på 1, 5 og standardavvik på 1 er mye risikofyltere enn et annet datasett som har et gjennomsnitt på 1, 5 og et standardavvik på 0, 1.

Når du kjenner disse verdiene for hver valgt eiendel (dvs. aksjer, obligasjoner og fond), vil en investor være oppmerksom på forventet avkastning og risiko.

Det er enkelt å anvende dette konseptet og representere risiko og avkastning på en enkelt aksje, obligasjon eller fond. Men kan dette utvides til en portefølje av flere eiendeler ">

Enkeltpersoner starter handel med å kjøpe en enkelt aksje eller obligasjon eller investere i et aksjefond. Etter hvert har de en tendens til å øke eierandelen og kjøpe flere aksjer, fond eller andre eiendeler, og dermed skape en portefølje. I dette trinnvise scenariet bygger enkeltpersoner porteføljene sine uten strategi eller mye tanker. Profesjonelle fondsforvaltere, handelsmenn og markedsførere følger en systematisk metode for å bygge sin portefølje ved å bruke en matematisk tilnærming kalt moderne porteføljeteori (MPT) som er basert på konseptet "normal distribusjon."

Moderne porteføljeteori

Modern portfolio theory (MPT) tilbyr en systematisk matematisk tilnærming som tar sikte på å maksimere en porteføljes forventede avkastning for en gitt mengde porteføljerisiko ved å velge proporsjonene til ulike eiendeler. Alternativt tilbyr den også å minimere risikoen for et gitt nivå av forventet avkastning.

For å oppnå dette målet, bør ikke eiendelene som skal inkluderes i porteføljen velges utelukkende basert på sin egen individuelle fortjeneste, men i stedet på hvordan hver eiendel vil prestere i forhold til de andre eiendelene i porteføljen.

I et nøtteskall definerer MPT hvordan man best oppnår diversifisering av porteføljen for best mulig resultat: maksimal avkastning for et akseptabelt risikonivå eller minimal risiko for et ønsket avkastningsnivå.

Byggesteinene

MPT var et så revolusjonerende konsept da det ble introdusert at oppfinnerne vant en Noble Prize. Denne teorien ga vellykket en matematisk formel for å lede diversifisering i investering.

Diversifisering er en risikostyringsteknikk som fjerner risikoen for "alle egg i en kurv" ved å investere i ikke-korrelerte aksjer, sektorer eller aktivaklasser. Ideelt sett vil den positive ytelsen til en eiendel i porteføljen avbryte den negative ytelsen til andre eiendeler.

For å ta gjennomsnittlig avkastning på porteføljen som har n forskjellige eiendeler, beregnes den proporsjonsvektede kombinasjonen av avkastningen på de bestanddelene.

På grunn av arten av statistiske beregninger og normalfordeling, beregnes den samlede porteføljeavkastningen (R _p ) som:

Rp = ΣwiRiR_p = \ sum {w_iR_i} Rp = Σwi Ri

Summen (∑), hvor w _i er proporsjonal vekt på eiendel i i porteføljen, R _i er avkastning (middel) av eiendel i.

Porteføljerisikoen (eller standardavviket) er en funksjon av korrelasjonene av de inkluderte eiendelene, for alle aktivapar (med hensyn til hverandre i paret).

På grunn av arten av statistiske beregninger og normalfordeling, beregnes den samlede porteføljerisikoen (Std-dev) _p som:

(Std − dev) p = sqrt [∑i∑jwiwj (std − dev) i (std − dev) j (cor − cofij)] \ begynne {justert} & \ venstre (Std-dev \ høyre) _p = \ \ & sqrt \ venstre [\ sum_i \ sum_j {w_i} {w_j} \ venstre (std-dev \ høyre) _i \ venstre (std-dev \ høyre) _j \ venstre (cor-cof_ {ij} \ høyre) \ høyre] \\ \ end {alignet} (Std − dev) p = sqrt [i∑ j∑ wi wj (std − dev) i (std − dev) j (cor − cofij)]

Her er cor-cof korrelasjonskoeffisienten mellom avkastning av eiendeler i og j, og sqrt er kvadratroten.

Dette tar vare på den relative ytelsen til hver eiendel i forhold til den andre.

Selv om dette fremstår som matematisk sammensatt, inkluderer det enkle konseptet som brukes her ikke bare standardavvikene til individuelle eiendeler, men også de tilhørende med hensyn til hverandre.

Et godt eksempel er tilgjengelig her fra University of Washington.

Et raskt eksempel på MPT

La oss tenke som et tankeeksperiment at vi er en porteføljeforvalter som har fått kapital og får i oppgave hvor mye kapital som skal tildeles to tilgjengelige eiendeler (A & B) slik at forventet avkastning blir maksimert og risikoen senkes.

Vi har også følgende verdier tilgjengelige:

Ra = 0, 175

Rb = 0, 055

(Std-dev) _a = 0, 258

(Std-dev) _b = 0, 115

(Std-dev) _ab = -0, 004875

(Cor-cof) _ab = -0.164

Fra og med lik 50-50 tildeling til hver eiendel A & B, beregner Rp seg til 0, 155 og (Std-dev) _p kommer til 0, 1323. En enkel sammenligning forteller oss at både denne avkastningen og risikoen er midt mellom individuelle verdier for hver eiendel.

Målet vårt er imidlertid å forbedre avkastningen til porteføljen utover det gjennomsnittlige av hver enkelt enkelt eiendel og redusere risikoen, slik at den er lavere enn den enkelte eiendels.

La oss nå ta en 1, 5 kapitalallokeringsposisjon i eiendel A, og en kapitalfordelingsposisjon -0, 5 i eiendel B. (Negativ kapitalallokering betyr at kortslutning av at aksjer og mottatt kapital brukes til å kjøpe overskuddet til den andre eiendelen med positiv kapitalallokering. med andre ord, vi mangler aksje B for 0, 5 ganger kapital og bruker pengene til å kjøpe aksje A for beløp 1, 5 ganger kapital.)

Ved å bruke disse verdiene får vi Rp som 0.1604 og (Std-dev) _p som 0.4005.

Tilsvarende kan vi fortsette å bruke forskjellige tildelingsvekter til eiendel A & B, og komme frem til forskjellige sett med Rp og (Std-dev) p. I henhold til ønsket avkastning (Rp) kan man velge det mest akseptable risikonivået (std-dev) p. Alternativt, for ønsket risikonivå, kan man velge den beste tilgjengelige porteføljeavkastningen. Uansett, gjennom denne matematiske modellen for porteføljeteori, er det mulig å oppfylle målet om å skape en effektiv portefølje med ønsket risiko og avkastningskombinasjon.

Bruken av automatiserte verktøy gjør at man enkelt og greit kan oppdage best mulig tildelte proporsjoner uten behov for lange manuelle beregninger.

Den effektive grensen, CAPM (Capital Asset Pricing Model) og prisfastsetting av eiendeler ved bruk av MPT utvikler seg også fra den samme normalfordelingsmodellen og er en utvidelse til MPT.

Utfordringer med MPT (og underliggende normal distribusjon)

Dessverre er ingen matematisk modell perfekt, og hver har mangler og begrensninger.

Den grunnleggende antagelsen om at aksjekursavkastning følger normal fordeling i seg selv, blir stilt spørsmål om gang på gang. Det er tilstrekkelig empirisk bevis på tilfeller der verdier ikke klarer å overholde den antatte normalfordelingen. Å basere komplekse modeller på slike forutsetninger kan føre til resultater med store avvik.

Hvis du går videre inn i MPT, er det ikke nødvendigvis at beregningene og antagelsene om korrelasjonskoeffisient og samvariasjon som er faste (basert på historiske data) stemmer med for fremtidige forventede verdier. For eksempel viste obligasjons- og aksjemarkedene en perfekt korrelasjon i det britiske markedet fra 2001 til 2004, hvor avkastningen fra begge eiendelene falt samtidig. I virkeligheten har det motsatte blitt observert over lange historiske perioder før 2001.

Investoratferd tas ikke i betraktning i denne matematiske modellen. Skatter og transaksjonskostnader blir neglisjert, selv om brutto kapitalallokering og muligheten for manglende eiendeler antas.

I virkeligheten kan ingen av disse forutsetningene stemme, noe som betyr at realisert økonomisk avkastning kan avvike betydelig fra forventet fortjeneste.

Bunnlinjen

Matematiske modeller gir en god mekanisme for å kvantifisere noen variabler med enkle, sporbare tall. Men på grunn av begrensningene i forutsetningene, kan modeller mislykkes.

Normaldistribusjonen, som ligger til grunn for porteføljeteori, kan ikke nødvendigvis gjelde aksjer og andre finansielle formuespriser. Porteføljeteori har i seg selv mange forutsetninger som bør undersøkes kritisk før du tar viktige økonomiske beslutninger.