Bruken og begrensningene for flyktighet

Investorer liker å fokusere på løftet om høy avkastning, men de bør også spørre hvor mye risiko de må påta seg i bytte mot disse avkastningene. Selv om vi ofte snakker om risiko i generell forstand, er det også formelle uttrykk for forholdet mellom risiko og belønning. Sharpe-forholdet måler for eksempel meravkastning per risikeenhet, der risiko beregnes som volatilitet, som er et tradisjonelt og populært risikotiltak. Statistiske egenskaper er velkjente, og den strømmer inn i flere rammer, for eksempel moderne porteføljeteori og Black-Scholes-modellen. I denne artikkelen undersøker vi volatilitet for å forstå bruken og begrensningene.

Årlig standardavvik
I motsetning til underforstått volatilitet - som tilhører opsjonsprisningsteori og er et fremtidsrettet estimat basert på markedskonsensus - ser regelmessig volatilitet bakover. Spesielt er det det årlige standardavviket for historisk avkastning.

Tradisjonelle risikorammer som er avhengige av standardavvik antar generelt at avkastningen samsvarer med en normal bjelleformet fordeling. Normale distribusjoner gir oss nyttige retningslinjer: cirka to tredjedeler av tiden (68, 3%), avkastningen bør falle innenfor ett standardavvik (+/-); og 95% av tiden, bør avkastningen falle innenfor to standardavvik. To kvaliteter ved en normal distribusjonsgraf er tynne "haler" og perfekt symmetri. Skinny haler innebærer en veldig lav forekomst (ca. 0, 3% av tiden) av avkastning som er mer enn tre standardavvik fra gjennomsnittet. Symmetri innebærer at frekvensen og størrelsen på oppsiden gevinster er et speilbilde av nedsiden tap.

SE: Volatilitetens innvirkning på markedsavkastningen

Følgelig behandler tradisjonelle modeller all usikkerhet som risiko, uavhengig av retning. Som mange har vist, er det et problem hvis avkastningen ikke er symmetrisk - investorer bekymrer seg for tapene "til venstre" for gjennomsnittet, men de bekymrer seg ikke for gevinster til høyre for gjennomsnittet.

Vi illustrerer dette skjemaet nedenfor med to fiktive aksjer. Den fallende bestanden (blå linje) er helt uten spredning og produserer derfor en volatilitet på null, men den stigende bestanden - fordi den utviser flere oppriss, men ikke en eneste dråpe - gir en volatilitet (standardavvik) på 10%.

Teoretiske egenskaper
For eksempel når vi beregner volatiliteten for S&P 500-indeksen per 31. januar 2004, kommer vi hvor som helst fra 14, 7% til 21, 1%. Hvorfor et slikt område ">

Legg merke til at flyktigheten øker når intervallet øker, men ikke i proporsjoner: den ukentlige er ikke nesten fem ganger den daglige mengden og den månedlige er ikke nesten fire ganger den ukentlige. Vi har kommet til et sentralt aspekt ved tilfeldig gangsteori: standardavvikskala (økning) i forhold til kvadratroten av tid. Derfor, hvis det daglige standardavviket er 1, 1%, og hvis det er 250 handelsdager i løpet av et år, er det årlige standardavviket det daglige standardavviket på 1, 1% ganget med kvadratroten på 250 (1, 1% x 15, 8 = 18, 1%) . Når vi vet dette, kan vi årliggjøre intervallstandardavvikene for S&P 500 ved å multiplisere med kvadratroten av antall intervaller i løpet av et år:

En annen teoretisk egenskap av flyktighet kan eller ikke overraske deg: den eroderer avkastningen. Dette skyldes nøkkelantakelsen fra ideen om tilfeldig gange: at avkastning uttrykkes i prosent. Se for deg at du starter med $ 100 og så tjener 10% for å få $ 110. Da taper du 10%, noe som gir deg $ 99 ($ ​​110 x 90% = $ 99). Så får du 10% igjen, til netto $ 108, 90 ($ 99 x 110% = $ 108, 9). Til slutt taper du 10% til netto $ 98, 01. Det kan virke motintuitivt, men rektoren din eroderer sakte, selv om gjennomsnittlig gevinst er 0%!

Hvis du for eksempel forventer en gjennomsnittlig årlig gevinst på 10% per år (dvs. aritmetisk gjennomsnitt), viser det seg at den forventede gevinsten på lang sikt er noe mindre enn 10% per år. Faktisk vil den reduseres med omtrent halvparten av variansen (hvor variansen er standardavviket i kvadratet). I det rene hypotetiske nedenfor, begynner vi med $ 100 og forestiller oss fem års volatilitet for å avslutte med $ 157:

Den gjennomsnittlige årlige avkastningen over de fem årene var 10% (15% + 0% + 20% - 5% + 20% = 50% ÷ 5 = 10%), men

(CAGR, eller geometrisk retur) er et mer nøyaktig mål på

, og det var bare 9, 49%. Volatilitet eroderte resultatet, og forskjellen er omtrent halvparten av variansen på 1, 1%. Disse resultatene er ikke fra et historisk eksempel, men når det gjelder forventninger gitt et standardavvik fra

(varians er kvadratet med standardavvik,

^ 2) og en forventet gjennomsnittlig gevinst på

, er den forventede årlige avkastningen omtrent

- (

^ 2 ÷ 2).

Are Returns Well-Behaved "> Nasdaq nedenfor (omtrent 2500 daglige observasjoner):

Som du kan forvente, er volatiliteten til Nasdaq (årlig standardavvik på 28, 8%) større enn volatiliteten til S&P 500 (årlig standardavvik på 18, 1%). Vi kan observere to forskjeller mellom normalfordeling og faktisk avkastning. For det første har de faktiske avkastningene høyere topper - noe som betyr en større overvekt av avkastning nær gjennomsnittet. For det andre har faktisk avkastning fetere haler. (Funnene våre stemmer overens med mer omfattende akademiske studier, som også har en tendens til å finne høye topper og fete haler; den tekniske betegnelsen for dette er kurtose). La oss si at vi anser minus tre standardavvik for å være et stort tap: S&P 500 opplevde et daglig tap på minus tre standardavvik omtrent -3, 4% av tiden. Normalkurven spår at et slikt tap vil oppstå omtrent tre ganger på 10 år, men det skjedde faktisk 14 ganger!

Dette er fordelinger av separate intervallavkastninger, men hva sier teorien om avkastning over tid "> gjennomsnittlig årlig avkastning (de siste 10 årene) var omtrent 10, 6%, og som diskutert, den årlige volatiliteten var 18, 1%. Her utfører vi en hypotetisk prøve med å starte med $ 100 og holde den over 10 år, men vi utsetter investeringen hvert år for et tilfeldig resultat som i gjennomsnitt var 10, 6% med et standardavvik på 18, 1%. Denne rettssaken ble gjort 500 ganger, noe som gjorde det til en såkalt Monte Carlo De endelige prisutfallene på 500 forsøk vises nedenfor:

En normalfordeling vises som bakgrunn bare for å synliggjøre de svært ikke-normale prisutfallene. Teknisk er de endelige prisutfallene lognormale (noe som betyr at hvis x-aksen ble konvertert til naturlig logg av x, ville fordelingen sett mer normal ut). Poenget er at flere prisutfall er over til høyre: av 500 forsøk ga seks utfall et resultat på $ 700 ved utgangen av perioden! Disse dyrebare få resultatene klarte å tjene over 20% i gjennomsnitt hvert år over 10 år. På venstre side, fordi en synkende balanse reduserer de kumulative effektene av prosentvis tap, fikk vi bare en håndfull endelige utfall som var mindre enn $ 50. For å oppsummere en vanskelig idé, kan vi si at intervallavkastning - uttrykt i prosentvise termer - normalt distribueres, men endelige prisutfall er logg-normalt fordelt.

SE: Multivariate modeller: Monte Carlo-analysen

Endelig er et annet funn av forsøkene våre i samsvar med "erosjonseffektene" av volatilitet: hvis investeringen tjente nøyaktig gjennomsnittet hvert år, ville du hatt rundt 273 dollar på slutten (10, 6% sammensatt over 10 år). Men i dette eksperimentet var den samlede forventede gevinsten nærmere $ 250. Med andre ord, den gjennomsnittlige (aritmetiske) årlige gevinsten var 10, 6%, men den kumulative (geometriske) gevinsten var mindre.

Det er avgjørende å huske på at simuleringen vår forutsetter en tilfeldig vandring: den forutsetter at retur fra en periode til en annen er helt uavhengig. Vi har ikke bevist det på noen måte, og det er ikke en bagatellmessig forutsetning. Hvis du tror at retur følger trender, sier du teknisk at de viser positiv seriell korrelasjon. Hvis du tror at de går tilbake til gjennomsnittet, så sier du teknisk at de viser negativ seriekorrelasjon. Ingen av holdningene stemmer overens med uavhengighet.

Bunnlinjen
Volatilitet er årlig standardavvik for avkastning. I det tradisjonelle teoretiske rammeverket måler det ikke bare risiko, men påvirker forventningen til langsiktig (flerperiods) avkastning. Som sådan ber den oss om å akseptere de tvilsomme forutsetningene om at intervallreturene normalt er distribuert og uavhengige. Hvis disse forutsetningene er sanne, er høy volatilitet et dobbeltkantet sverd: det eroderer forventet langsiktig avkastning (det reduserer det aritmetiske gjennomsnittet til det geometriske gjennomsnittet), men det gir deg også flere sjanser til å oppnå noen få store gevinster.

SE: Underforstått volatilitet: Kjøp lavt og selg høyt