Beregning av nåværende og fremtidig verdi av livrenter

På et tidspunkt i livet ditt, kan det hende du har måttet foreta en serie faste betalinger over en periode - for eksempel husleie eller bilbetaling - eller har mottatt en serie betalinger over en periode, for eksempel renter fra obligasjoner eller CDer. Dette kalles livrenter (en mer generisk bruk av ordet - ikke å forveksle med det spesifikke økonomiske produktet som kalles en livrente, selv om de to er i slekt). Hvis du forstår tidsverdien av penger, er du klar til å lære om livrenter og hvordan deres nåværende og fremtidige verdier beregnes.

Hva er livrenter?

Livrenter er egentlig en serie faste betalinger som kreves fra deg, eller betalt til deg, med en spesifikk frekvens i løpet av en fast tidsperiode. Betalingsfrekvenser kan være årlig, halvårlig (to ganger i året), kvartalsvis og månedlig. Det er to grunnleggende typer livrenter: vanlige livrenter og forfalte livrenter.

• Vanlig livrente: Det kreves betaling ved slutten av hver periode. For eksempel foretar rette obligasjoner vanligvis kupongutbetalinger på slutten av hvert halvår frem til obligasjonens forfallstidspunkt.
• Forfalt livrente: Det kreves betaling i begynnelsen av hver periode. Leie er et eksempel på en forfalt livrente. Det kreves vanligvis at du betaler husleie når du først flytter inn i begynnelsen av måneden, og deretter den første i hver måned deretter.

Siden nåværende og fremtidige verdeberegninger for ordinære livrenter og livrenter er litt forskjellige, vil vi diskutere dem separat.

Vanlige livrenter

Beregning av fremtidig verdi

Hvis du vet hvor mye du kan investere per periode for en viss periode, er fremtidig verdi (FV) til en ordinær livrenteformel nyttig for å finne ut hvor mye du vil ha i fremtiden. Hvis du betaler på et lån, er fremtidig verdi nyttig når du skal bestemme de totale kostnadene for lånet. Hvis du vet hvor mye du planlegger å investere hvert år og den faste avkastningen som livrenten garanterer - eller for lån, betalingsbeløpet og den gitte renten - kan du enkelt bestemme verdien på kontoen din når som helst i fremtiden.

La oss nå gå gjennom eksempel 1. Tenk på følgende kontantstrømplan for livrente:

For å beregne den fremtidige verdien av livrenten, må vi beregne fremtidig verdi av hver kontantstrøm. La oss anta at du mottar 1 000 dollar hvert år de neste fem årene, og at du investerer hver betaling til 5% rente. Følgende diagram viser hvor mye du ville ha i slutten av femårsperioden:

Siden vi må legge til fremtidig verdi av hver betaling, har du kanskje lagt merke til at hvis du har en ordinær livrente med mange kontantstrømmer, vil det ta lang tid å beregne alle fremtidige verdier og deretter legge dem sammen. Heldigvis gir matematikk en formel som fungerer som en snarvei for å finne den akkumulerte verdien av alle kontantstrømmer mottatt fra en ordinær livrente:

FVOrdinary Annuity = C × [(1 + i) n − 1i] hvor: C = Kontantstrøm per periode = Rente raten = Antall betalinger \ begynne {justert} & \ tekst {FV} _ {\ text {Ordinær ~ Livrente }} = \ text {C} \ ganger \ Big [\ dfrac {(1 + i) ^ n-1} {i} \ Big] \\ & \ textbf {hvor:} \\ & \ text {C} = \ text {Kontantstrøm per periode} \\ & i = \ text {Rente} \\ & n = \ text {Antall betalinger} \\ \ slutt {justert} FVOrdinary Annuity = C × [i (1 + i) n − 1] hvor: C = Kontantstrøm per periodi = Rentesats = Antall betalinger

Ved å bruke formelen ovenfor for eksempel 1 ovenfor, er dette resultatet:

FVOrdinary Annuity = $ 1000 × [(1 + 0, 05) 5−10.05] = $ 1000 × [5.53] \ begin {alignet} \ text {FV} _ {\ text {Ordinary ~ Annuity}} & = \ $ 1000 \ times \ left [\ frac {(1 + 0, 05) ^ 5-1} {0, 05} \ høyre] \\ & = \ $ 1000 \ ganger [5.53] \\ & = \ $ 5525.63 \ end {justert} FVOrdinary Annuity = $ 1000 × [ 0, 05 (1 + 0.05) 5-1] = $ 1000 x [5, 53]

Beregning av nåverdien

Legg merke til at forskjellen på en cent mellom $ 5, 525, 64 og $ 5, 525, 63 skyldes en avrundingsfeil i den første beregningen. Hver verdi av den første beregningen må avrundes til nærmeste krone - jo mer du må runde tall i en beregning, desto mer sannsynlig vil avrundingsfeil oppstå. Så, formelen ovenfor gir ikke bare en snarvei til å finne FV for en vanlig livrente, men gir også et mer nøyaktig resultat.

Nåverdien av en livrente er ganske enkelt den nåværende verdien av alle inntektene generert av den investeringen i fremtiden. Denne beregningen er basert på begrepet tidsverdi på penger, som sier at en dollar nå er verdt mer enn en dollar tjent i fremtiden. På grunn av dette bruker nåverdiberegninger antall tidsperioder som inntektene genereres over for å neddiskontere verdien av fremtidige betalinger.

Hvis du ønsker å bestemme dagens verdi av en fremtidig betalingsrekke, må du bruke formelen som beregner nåverdien (PV) til en ordinær livrente. Dette er formelen du vil bruke som en del av en beregning av obligasjonspriser. PV for en ordinær livrente beregner nåverdien av kupongbetalingene du vil motta i fremtiden.

For eksempel 2 bruker vi den samme kontantstrømplanen for livrente som vi gjorde i eksempel 1. For å oppnå den totale rabatterte verdien, må vi ta nåverdien av hver fremtidig betaling, og som vi gjorde i eksempel 1, legge til kontantstrømmer sammen.

Igjen vil det ta betydelig tid å beregne og legge til alle disse verdiene, spesielt hvis vi forventer mange fremtidige betalinger. Selv om mange online-kalkulatorer kan bestemme nåverdien av en annuitet, er ikke formelen for en vanlig annuitet altfor komplisert å beregne for hånd, hvis vi bruker en matematisk snarvei for PV for en ordinær livrente.

PVOrdinary Annuity = C × [1− (1 + i) −ni] \ text {PV} _ {\ text {Ordinær ~ Annuity}} = \ text {C} \ ganger \ Big [\ dfrac {1- (1 + i) ^ {- n}} {i} \ Big] PVOrdinary Annuity = C × [i1− (1 + i) −n]

Formelen gir oss PV i noen få enkle trinn. Her er beregningen av livrente representert i diagrammet for eksempel 2:

PVOrdinary Annuity = $ 1000 × [1− (1 + 0.05) −50.05] = $ 1000 × [4.33] \ begin {alignet} \ text {PV} _ {\ text {Ordinær ~ Annuity}} & = \ $ 1000 \ times \ Stor [\ dfrac {1- (1 + 0, 05) ^ {- 5}} {0, 05} \ stor] \\ & = \ $ 1000 \ ganger [4.33] \\ & = \ $ 4329.48 \ end {alger} PVOrdinary Annuity = $ 1000 x [0.051- (1 + 0, 05) -5] = $ 1000 x [4, 33]

Beregning av fremtidig verdi

Når du mottar eller betaler kontantstrømmer for en forfalt livrente, vil kontantstrømplanen din vises som følger:

Siden hver betaling i serien utføres en periode før, må vi redusere formelen en periode tilbake. En liten modifisering av formelen FV-of-an-alminnelig livrente gjør rede for betalinger som skjer i begynnelsen av hver periode. I eksempel 3, la oss illustrere hvorfor denne modifiseringen er nødvendig når hver $ 1000-betaling utføres i begynnelsen av perioden i stedet for ved slutten (renten er fremdeles 5%):

Legg merke til at når utbetalinger skjer i begynnelsen av perioden, blir hvert beløp holdt lenger på slutten av perioden. Hvis for eksempel $ 1000 ble investert 1. januar i stedet for 31. desember hvert år, ville den siste betalingen før vi verdsetter investeringen vår på slutten av fem år (31. desember) blitt gjort et år før (1. januar) i stedet for samme dag som det verdsettes. Den fremtidige verdien av livrenteformelen ville da lese:

FVAnnuity Due = C × [(1 + i) n − 1i] × (1 + i) FV _ {\ text {Annuity Due}} = C \ ganger \ venstre [\ frac {(1 + i) ^ n-1 } {i} \ høyre] \ ganger (1 + i) FVAnnuity Due = C × [i (1 + i) n − 1] × (1 + i)

Derfor,

FVAnnuity Due = $ 1000 × [(1 + 0, 05) 5−10, 05] × (1 + 0, 05) = $ 1000 × 5, 53 × 1, 05 \ begynne {justert} FV _ {\ text {Annuity Due}} & = \ $ 1000 \ times \ left [\ frac {(1 + 0, 05) ^ 5-1} {0, 05} \ høyre] \ ganger (1 + 0, 05) \\ & = \ $ 1000 \ ganger5, 53 \ ganger1.05 \\ & = \ $ 5801.91 \ end { justert} FVAnnuity Due = $ 1000 × [0, 05 (1 + 0, 05) 5−1] × (1 + 0, 05) = $ 1000 × 5, 53 × 1, 05

Livrente på grunn

Beregning av nåverdien

For nåverdien av en annuitetsfradragsformel, må vi neddisjere formelen en periode fremover da betalingene holdes i en kortere periode. Når vi beregner nåverdien, antar vi at den første betalingen ble utført i dag.

Vi kan bruke denne formelen for å beregne nåverdien av fremtidige husleiebetalinger som spesifisert i en leiekontrakt du signerer med utleier. La oss si at du gjør din første leiebetaling (se eksempel 4 nedenfor) i begynnelsen av måneden og evaluerer nåverdien av din fem måneders leieavtale samme dag. Beregningen av nåverdien vil fungere som følger:

Selvfølgelig kan vi bruke en formelgenvei for å beregne nåverdien av en annuitet som skyldes:

PVAnnuity Due = C × [1− (1 + i) −ni] × (1 + i) PV _ {\ text {Annuity Due}} = C \ times \ left [\ frac {1- (1 + i) ^ {-n}} {i} \ høyre] \ ganger (1 + i) PVAnnuity Due = C × [i1− (1 + i) −n] × (1 + i)

Derfor,

PVAnnuity Due = $ 1000 × [(1− (1 + 0, 05) −50, 05] × (1 + 0, 05) = $ 1000 × 4, 33 × 1, 05 \ begynne {justert} PV _ {\ text {Annuity Due}} & = \ $ 1000 \ times \ venstre [\ frac {(1- (1 + 0, 05) ^ {- 5}} {0, 05} \ høyre] \ ganger (1 + 0, 05) \\ & = \ $ 1000 \ ganger4, 33 \ ganger1, 05 \\ & = \ $ 4545, 95 \ slutt {justert} PVAnnuity Due = $ 1000 × [0, 05 (1− (1 + 0, 05) −5] × (1 + 0, 05) = $ 1000 × 4, 33 × 1, 05

Husk at nåverdien av en ordinær livrente ga tilbake en verdi på $ 4, 329, 48. Nåverdien av en ordinær livrente er mindre enn verdien av en livrente, fordi jo lenger vi tilbakestiller en fremtidig betaling, jo lavere er nåverdien - hver betaling eller kontantstrøm i en ordinær livrente skjer en periode lenger inn i fremtiden.

Tidsverdien av penger

Beregningen av fremtidig verdi er basert på begrepet tidsverdi på penger. Dette betyr ganske enkelt at en dollar opptjent i dag er verdt mer enn en dollar opptjent i morgen fordi midler du kontrollerer nå kan investeres og tjene renter over tid. Derfor er den fremtidige verdien av en livrente større enn summen av alle investeringene dine fordi disse bidragene har tjent renter over tid. For eksempel er den fremtidige verdien av $ 1000 som investeres i dag med 10% rente 1100 dollar ett år fra nå. En enkelt dollar i dag er verdt $ 1, 10 på et år på grunn av tidsverdien av pengene.

Anta at du betaler årlige utbetalinger på $ 5000 til din ordinære livrente i 15 år. Det tjener 9% renter, sammensatt årlig.

FV = $ 5000 × {(((1 + 0, 09) 15) −1) ÷ 0, 09} = $ 5000 × {((1.0915) −1) ÷ 0, 09} = $ 5000 × 2.642 ÷ 0, 09 \ begynne {justert} FV & = \ $ 5000 \ ganger \ {((((1 + 0, 09) ^ {15}) - 1) \ div 0, 09 \} \\ & = \ $ 5000 \ ganger \ {((1, 09 ^ {15}) - 1) \ div 0, 09 \ } \\ & = \ $ 5000 \ ganger 2.642 \ div 0, 09 \\ & = \ $ 5000 \ ganger \ $ 146, 804, 58 \ end {alignet} FV = $ 5000 × {((((1 + 0.09) 15) −1) ÷ 0.09} = $ 5000 x {((1, 0915) -1) ÷ 0, 09} = $ 5, 000 x 2, 642 0, 09 ÷

Uten at kraften i renter er sammensatt, er seriene på $ 5000 bidrag bare verdt $ 75 000 ved slutten av 15 år. I stedet, med sammensatt rente, er den fremtidige verdien av livrenten nesten det dobbelte av den på $ 146 804, 58.

For å beregne fremtidig verdi på en forfalt livrente, multipliser du ganske enkelt den ordinære fremtidige verdien med 1+ i (renten). I eksemplet ovenfor er den fremtidige verdien av en annuitet med de samme parametrene ganske enkelt $ 146 804, 58 x (1 + 0, 09), eller $ 160, 016, 99.

Hensyn til nåverdi

Når du beregner nåverdien av en annuitet, er det viktig at alle variabler er konsistente. Hvis livrenten genererer årlige utbetalinger, for eksempel, må renten også uttrykkes som en årlig rente. Hvis livrenten genererer månedlige utbetalinger, for eksempel, må renten også uttrykkes som en månedlig rente.

Anta at en livrente har en rente på 10% som genererer årlige utbetalinger på $ 3000 for de neste 15 årene. Nåverdien av denne livrenten er:

= $ 3000 x (((1- (1 + 0, 1) -15)) ÷ 0, 1) = $ 3000 x ((1-.239392) ÷ 0, 1) = $ 3, 000 x (0, 760608 ÷ 0, 1) = $ 3000 x 7, 60608 \ begynne {innrettet } & = \ $ 3000 \ ganger (((1 - (1 + 0, 1) ^ {- 15})) \ div 0, 1) \\ & = \ $ 3000 \ ganger ((1 - .239392) \ div 0.1) \\ & = \ $ 3000 \ ganger (0, 760608 \ div 0, 1) \\ & = \ $ 3000 \ ganger 7.60608 \\ & = \ $ 22, 818 \ end {justert} = $ 3000 × (((1− (1 + 0.1) −15)) ÷ 0, 1) = $ 3000 x ((1-.239392) ÷ 0, 1) = $ 3, 000 x (0, 760608 ÷ 0, 1) = $ 3000 x 7, 60608

Nåværende verdi av en annuitet

Bunnlinjen

Nå kan du se hvordan livrenter påvirker hvordan du beregner nåværende og fremtidig verdi av et hvilket som helst pengebeløp. Husk at betalingsfrekvensene, eller antall betalinger, og tidspunktet for disse utbetalingene (enten i begynnelsen eller slutten av hver betalingsperiode) er alle variabler du må gjøre rede for i beregningene dine.

Når du planlegger pensjonisttilværelse, er det viktig å ha en god ide om hvor mye inntekt du kan stole på hvert år. Selv om det kan være relativt enkelt å følge med på hvor mye du legger i arbeidsgiver-sponsede pensjonsplaner, individuelle pensjonskontoer (IRA) og livrenter, er det ikke alltid så lett å vite hvor mye du vil få ut. Heldigvis, når det gjelder faste renter eller planer som er investert i verdipapirer med fast rente, er det en enkel måte å beregne hvor mye penger du kan forvente å ha tilgjengelig etter pensjonering basert på hvor mye du legger inn på kontoen i løpet av dine arbeidsår. .