Sammensatt interesse
Sammensatt rente (eller sammensatte renter) er renter beregnet på den opprinnelige hovedstolen, som også inkluderer alle akkumulerte renter fra tidligere perioder med et innskudd eller lån. Tenkt å ha sin opprinnelse i 1600-tallets Italia, kan sammensatte renter tenkes som "renter på renter", og vil få en sum til å vokse raskere enn enkel rente, som bare beregnes på hovedbeløpet.
Viktige takeaways
- Sammensatt rente (eller sammensatte renter) er renter beregnet på den opprinnelige hovedstolen, som også inkluderer alle akkumulerte renter fra tidligere perioder med et innskudd eller lån.
- Sammensatte renter beregnes ved å multiplisere det opprinnelige hovedbeløpet med ett pluss den årlige renten hevet til antall sammensatte perioder minus en.
- Interesse kan forsterkes på en gitt frekvensplan, fra kontinuerlig til daglig til årlig.
- Ved beregning av sammensatte renter utgjør antall sammensatte perioder en betydelig forskjell.
Satsen som sammensatte renter påløper avhenger av frekvensen av sammensetting, slik at jo høyere antall sammensatte perioder, desto større er sammensatte renter. Dermed vil mengden av sammensatte renter som påløper $ 100 sammensatt til 10% årlig være lavere enn for $ 100 sammensatt til 5% halvårlig i samme tidsperiode. Siden rente-på-rente-effekten kan generere stadig mer positiv avkastning basert på det opprinnelige hovedbeløpet, har det noen ganger blitt referert til som "mirakelet med sammensatt rente."
01:59Forstå sammensatt interesse
Beregne sammensatt interesse
Sammensatte renter beregnes ved å multiplisere det opprinnelige hovedbeløpet med ett pluss den årlige renten hevet til antall sammensatte perioder minus en. Det totale startbeløpet på lånet trekkes deretter fra den resulterende verdien.
Formelen for beregning av sammensatte renter er:
Sammensatt rente = Totalt beløp av hovedstol og rente i fremtiden (eller fremtidig verdi) fratrukket hovedbeløp på nåværende tidspunkt (eller nåverdi)
= [P (1 + i ) n ] - P
= P [(1 + i ) n - 1]
(Hvor P = hovedstol, i = nominell årlig rente i prosentvis termer, og n = antall sammensatte perioder.)
Ta et tre-årig lån på $ 10.000 til en rente på 5% som forbindes årlig. Hva ville være mengden av interesse ">
Vekst av sammensatt interesse
Ved å bruke eksemplet ovenfor, siden sammensatt rente også tar hensyn til akkumulert rente i tidligere perioder, er rentebeløpet ikke det samme i alle tre årene, som det ville være med enkel rente. Mens den totale renten som skal betales over treårsperioden for dette lånet er $ 1.576, 25, vises rentene som skal betales ved slutten av hvert år i tabellen nedenfor.
Sammensatte perioder
Ved beregning av sammensatte renter utgjør antall sammensatte perioder en betydelig forskjell. Den grunnleggende regelen er at jo høyere antall sammensatte perioder, desto større er mengden av sammensatte renter.
Følgende tabell viser forskjellen som antall sammensatte perioder kan gjøre for et lån på $ 10.000 med en årlig rente på 10% over en tiårsperiode.
Sammensatt interesse kan øke investeringsavkastningen betydelig på lang sikt. Mens et innskudd på $ 100 000 som mottar 5% enkel rente ville tjent $ 50 000 i renter over 10 år, ville sammensatte renter på 5% på 10 000 dollar utgjøre $ 62, 889, 46 i samme periode.
Beregning av Excel
Hvis det er en stund siden dagene dine i matematikklasser, frykt ikke: Det er nyttige verktøy for å finne sammenblanding. Mange kalkulatorer (både håndholdte og datamaskinbaserte) har eksponentfunksjoner som kan brukes til disse formålene. Hvis det oppstår mer kompliserte sammensatte oppgaver, kan de gjøres ved hjelp av Microsoft Excel - på tre forskjellige måter.
- Den første måten å beregne sammensatte renter er å multiplisere hvert års nye balanse med renten. Anta at du setter inn $ 1000 på en sparekonto med en rente på 5% som blir sammensatt årlig, og at du vil beregne saldoen på fem år. I Microsoft Excel skriver du inn "År" i celle A1 og "Balanse" i celle B1. Skriv år 0 til 5 inn i cellene A2 til og med A7. Saldoen for år 0 er $ 1000, så du vil oppgi "1000" i celle B2. Deretter skriver du inn "= B2 * 1.05" i celle B3. Skriv deretter inn "= B3 * 1.05" i celle B4 og fortsett å gjøre dette til du kommer til celle B7. I celle B7 er beregningen "= B6 * 1, 05". Til slutt er den beregnede verdien i celle B7 - 1 276, 28 dollar - balansen på sparekontoen din etter fem år. For å finne den sammensatte renteverdien, trekker du $ 1000 fra $ 1, 276, 28; Dette gir deg en verdi på $ 276, 28.
- Den andre måten å beregne sammensatte renter er å bruke en fast formel. Sammensatt renteformel er ((P * (1 + i) ^ n) - P), der P er hovedstol, i er den årlige renten, og n er antall perioder. Ved å bruke den samme informasjonen over, skriver du inn "Hovedverdi" i celle A1 og 1000 i celle B1. Deretter skriver du inn "Rentesats" i celle A2 og ".05" i celle B2. Skriv inn "sammensatte perioder" i celle A3 og "5" i celle B3. Nå kan du beregne den sammensatte renten i celle B4 ved å legge inn "= (B1 * (1 + B2) ^ B3) -B1", noe som gir deg $ 276, 28.
- En tredje måte å beregne sammensatte renter er å lage en makrofunksjon. Start først Visual Basic Editor, som ligger i utviklerfanen. Klikk på Sett inn-menyen, og klikk på Modul. Skriv deretter inn "Function Compound_Interest (P As Double, i As Double, n As Double) As Double" på den første linjen. På den andre linjen, trykk på tabulatortasten og skriv "Compound_Interest = (P * (1 + i) ^ n) - P". Skriv inn "Sluttfunksjon" på den tredje linjen i modulen. Du har opprettet en funksjonsmakro for å beregne den sammensatte renten. Fortsetter du fra det samme Excel-regnearket over, skriver du inn "Sammensatt interesse" i celle A6 og skriver inn "= Forbindelse_Interest (B1, B2, B3)". Dette gir deg en verdi på $ 276, 28, som er i samsvar med de to første verdiene.
Bruke andre kalkulatorer
Som nevnt ovenfor tilbys et antall gratis kalkulatorer med sammensatt rente på nettet, og mange håndholdte kalkulatorer kan også utføre disse oppgavene.
- Den kalkulator for gratis rente som tilbys gjennom Financial-Calculators.com er enkel å betjene og tilbyr til sammensatte frekvensvalg fra daglig til årlig. Det inkluderer et alternativ for å velge kontinuerlig sammensetting og tillater også innspill til faktiske kalenderens start- og sluttdatoer. Etter å ha lagt inn nødvendige beregningsdata viser resultatene rente, fremtidig verdi, årlig prosentvis avkastning (APY), som er et mål som inkluderer sammensetting og daglig rente.
- Investor.gov, et nettsted som drives av US Securities and Exchange Commission (SEC), tilbyr en gratis online rentekalkulator. Kalkulatoren er ganske enkel, men den tillater innspill av månedlige tilleggsinnskudd til hovedstolen, noe som er nyttig for å beregne inntekter der ekstra månedlig sparing blir satt inn.
- En gratis online rentekalkulator med noen flere funksjoner er tilgjengelig på TheCalculatorSite.com. Denne kalkulatoren tillater beregninger for forskjellige valutaer, muligheten til å faktorere månedlige innskudd eller uttak, og muligheten til å få inflasjonsjusterte økninger til månedlige innskudd eller uttak automatisk også beregnet.
Frekvensen av blanding
Interesse kan forsterkes på en gitt frekvensplan, fra daglig til årlig. Det er standard sammensatte frekvensplaner som vanligvis brukes på finansielle instrumenter.
Den ofte brukte sammensettingsplanen for sparekonto i en bank er daglig. For en CD er typiske sammensatte frekvensplaner daglig, månedlig eller halvårlig; for pengemarkedsregnskap er det ofte daglig. For boliglån, boliglån, personlige forretningslån eller kredittkortkontoer er den vanligste sammensatte planen månedlig. Det kan også være variasjoner i tidsrammen der den påløpte renten faktisk blir kreditert den eksisterende saldoen. Renter på en konto kan blandes daglig, men kun krediteres månedlig. Det er først når renten faktisk blir kreditert, eller lagt til den eksisterende saldoen, at den begynner å tjene ytterligere renter på kontoen.
Noen banker tilbyr også noe som kalles kontinuerlig sammensatt rente, som gir interesse for rektoren på alle mulige øyeblikk. For praktiske formål påløper det ikke så mye mer enn daglig rente med mindre du vil legge inn penger og ta ut det samme dag.
Hyppigere sammensetning av renter er gunstig for investoren eller kreditoren. For en låntaker er det motsatte.
Tidsverdi for pengene-hensyn
Det er viktig å forstå tidsverdien av pengene og den eksponentielle veksten som er opprettet ved sammensetting, for investorer som ønsker å optimalisere inntekts- og formuesfordelingen.
Formelen for å oppnå fremtidig verdi (FV) og nåverdi (PV) er som følger:
FV = PV (1 + i) n og PV = FV / (1 + i) n
For eksempel blir den fremtidige verdien på $ 10.000 sammensatt til 5% årlig i tre år:
= 10 000 dollar (1 + 0, 05) 3
= 10.000 dollar (1.157625)
= 11 566, 25 dollar
Nåverdien av 11 566, 25 dollar diskontert med 5% i tre år:
= $ 11 566, 25 / (1 + 0, 05) 3
= $ 11 566, 25 / 1, 157625
= 10.000 dollar
Gjensidigheten til 1.157625, som tilsvarer 0, 8638376, er diskonteringsfaktoren i dette tilfellet.
Betraktningen "Regelen om 72"
Den såkalte regelen om 72 beregner den omtrentlige tiden som en investering vil dobles med en gitt avkastningskurs eller rente "i", og er gitt av (72 / i). Det kan bare brukes til årlig sammensetting.
Som eksempel vil en investering som har en 6% årlig avkastning doble seg på 12 år.
En investering med en 8% årlig avkastning vil dermed dobles på ni år.
Sammensatt årlig veksthastighet (CAGR)
Den sammensatte årlige vekstraten (CAGR) brukes til de fleste økonomiske applikasjoner som krever beregning av en enkelt vekstrate over en periode.
La oss si at din investeringsportefølje har vokst fra $ 10.000 til $ 16.000 over fem år; hva er CAGR? I hovedsak betyr dette at PV = - $ 10.000, FV = $ 16.000, nt = 5, så variabelen "i" må beregnes. Ved hjelp av en finansiell kalkulator eller Excel kan det vises at i = 9, 86%.
(Vær oppmerksom på at i henhold til kontantstrømkonvensjonen vises din initialinvestering (PV) på $ 10.000 med et negativt tegn, siden det representerer en utstrømning av midler. PV og FV må nødvendigvis ha motsatte tegn for å løse for "i" i ovennevnte ligning).
CAGR Virkelige applikasjoner
CAGR brukes mye til å beregne avkastning over perioder for aksje-, aksjefond og investeringsporteføljer. CAGR brukes også til å finne ut om en aksjefondforvalter eller porteføljeforvalter har overskredet markedets avkastningskurs over en periode. Hvis for eksempel en markedsindeks har gitt en samlet avkastning på 10% over en femårsperiode, men en fondsforvalter bare har gitt årlig avkastning på 9% i samme periode, har forvalteren underprestert markedet.
CAGR kan også brukes til å beregne den forventede vekstraten for investeringsporteføljer over lengre tid, noe som er nyttig for slike formål som sparing til pensjon. Tenk på følgende eksempler:
Eksempel 1: En risikovillig investor er fornøyd med en beskjeden 3% årlig avkastning på porteføljen. Hennes nåværende portefølje på 100 000 dollar ville derfor vokse til 180 611 dollar etter 20 år. I motsetning til dette, vil en risikotolerant investor som forventer en årlig avkastning på 6% på porteføljen, se 100 000 dollar vokse til 320 714 dollar etter 20 år.
Eksempel 2: CAGR kan brukes til å estimere hvor mye som må stuves bort for å spare for et spesifikt mål. Et par som ønsker å spare 50 000 dollar over 10 år mot en forskuddsbetaling på en leilighet, vil måtte spare 4 165 dollar per år hvis de antar en årlig avkastning (CAGR) på 4% på sparepengene sine. Hvis de er forberedt på å ta litt ekstra risiko og forventer en CAGR på 5%, vil de trenge å spare 3 975 dollar årlig.
Eksempel 3: CAGR kan også brukes til å demonstrere fordelene ved å investere tidligere i stedet for senere i livet. Hvis målet er å spare 1 million dollar ved pensjon i 65-årsalderen, basert på en CAGR på 6%, vil en 25-åring måtte spare 6 462 dollar per år for å nå dette målet. En 40-åring derimot, må spare 18 227 dollar, eller nesten tre ganger så mye, for å oppnå samme mål.
- CAGR-er vokser også ofte opp i økonomiske data. Her er et eksempel: Kinas BNP per innbygger økte fra 193 dollar i 1980 til 6.091 dollar i 2012. Hva er den årlige veksten i BNP per innbygger i løpet av denne 32-årsperioden? Vekstraten “i” i dette tilfellet fungerer på å være imponerende 11, 4%.
Fordeler og ulemper med blanding
Selv om magien med sammensetting har ført til at den apokryfe historien om Albert Einstein kaller den verdens åttende underverk eller menneskets største oppfinnelse, kan sammensetting også virke mot forbrukere som har lån som har svært høye renter, for eksempel kredittkortgjeld. En kredittkortsaldo på $ 20 000 som bæres til en rente på 20% sammensatt månedlig ville resultere i en samlet sammensatt rente på $ 4 388 over ett år eller om $ 365 per måned.
På den positive siden kan magien med sammensetting fungere til din fordel når det kommer til investeringene dine og kan være en potent faktor i verdiskapningen. Eksponentiell vekst fra sammensatte renter er også viktig for å dempe faktorer som eroderoder for velstand, som økning i levekostnader, inflasjon og reduksjon av kjøpekraft.
Verdipapirfond tilbyr en av de enkleste måtene for investorer å høste fordelene av sammensatte renter. Å velge å reinvestere utbytte hentet fra verdipapirfondet resulterer i å kjøpe flere andeler av fondet. Mer sammensatt rente akkumuleres over tid, og syklusen med å kjøpe flere aksjer vil fortsette å hjelpe investeringen i fondet til å vokse i verdi.
Tenk på en investeringsfondsinvestering som ble åpnet med en første $ 5.000 og et årlig tillegg på $ 2.400. Med et gjennomsnitt på 12% årlig avkastning på 30 år, er den fremtidige verdien av fondet $ 798 500. Den sammensatte renten er forskjellen mellom kontantene som er bidratt til investeringen og den faktiske fremtidige verdien av investeringen. I dette tilfellet, ved å bidra med $ 77 000, eller et kumulativt bidrag på bare $ 200 per måned, over 30 år, er sammensatte renter $ 721 500 av den fremtidige balansen. Selvfølgelig er inntekter fra sammensatte renter skattepliktige, med mindre pengene er på en skattebeskyttet konto; den beskattes vanligvis til den vanlige prisen som er knyttet til skattyterens skatteinndeling.
Sammensatte renteinvesteringer
En investor som velger en reinvesteringsplan innen en meglerkonto bruker i hovedsak kraften i å sammensette i det de investerer. Investorer kan også oppleve sammensatte renter ved kjøp av et obligasjonslån uten null. Tradisjonelle obligasjonsutstedelser gir investorene periodiske rentebetalinger basert på de opprinnelige vilkårene for obligasjonsemisjonen, og fordi disse blir utbetalt til investoren i form av en sjekk, blir ikke renter sammensatt. Nullkupongobligasjoner sender ikke rentesjekker til investorer; i stedet kjøpes denne typen obligasjoner med en rabatt på den opprinnelige verdien og vokser over tid. Utstedere av nulkupongobligasjoner bruker kraften i sammensetting for å øke verdien på obligasjonen, slik at den når sin fulle pris ved forfall.
Compounding kan også fungere for deg når du foretar tilbakebetaling av lån. Å tjene halvparten av pantebetalingen din to ganger i måneden, for eksempel i stedet for å betale hele betalingen en gang i måneden, vil ende med å kutte ned avskrivningsperioden og spare deg for en betydelig mengde renter. Apropos lån ...
Fortell om renter er sammensatt
Truth in Lending Act (TILA) krever at långivere oppgir lånevilkår til potensielle låntakere, inkludert den totale dollarbeløpet som skal tilbakebetales i løpet av lånets levetid og om renter påløper enkelt eller er sammensatt.
En annen metode er å sammenligne et låns rente med dets årlige prosentsats (APR), som TILA også krever at långivere skal oppgi. April omregner finansutgiftene til lånet ditt, som inkluderer alle renter og avgifter, til en enkel rente. En vesentlig forskjell mellom renten og april betyr ett eller begge av to scenarier: Lånet ditt bruker sammensatte renter, eller det inkluderer heftige låneavgifter i tillegg til renter.