Kontinuerlig sammensatt interesse

Sammensatt rente er renter beregnet på den opprinnelige hovedstolen og også på akkumulert rente fra tidligere perioder med et innskudd eller lån. Effekten av sammensatte renter avhenger av frekvens.

Anta en årlig rente på 12%. Hvis vi starter året med $ 100 og sammensatte bare en gang, på slutten av året, vokser rektoren til $ 112 ($ 100 x 1, 12 = $ 112). Hvis vi i stedet sammensetter hver måned til 1%, ender vi opp med mer enn 112 dollar på slutten av året. Det vil si $ 100 x 1, 01 ^ 12 til $ 112, 68. (Det er høyere fordi vi sammensatte oftere.)

Kontinuerlig sammensatt returnerer sammensatt den hyppigste av alle. Kontinuerlig sammensetting er den matematiske grensen som sammensatt interesse kan nå. Det er et ekstremt tilfelle av sammensetning siden de fleste interesser er sammensatt på månedlig, kvartalsvis eller halvårlig basis.

Halvårlig avkastning

La oss først se på en potensielt forvirrende konvensjon. I obligasjonsmarkedet viser vi til obligasjonsekvivalent avkastning (eller obligasjonsekvivalentbasis). Dette betyr at hvis en obligasjon gir 6% på halvårlig basis, er dens obligasjonsekvivalenter 12%.

Figur 1

Den halvårlige avkastningen er ganske enkelt doblet. Dette er potensielt forvirrende fordi det effektive utbyttet av en obligasjonsekvivalent på 12% er 12, 36% (dvs. 1, 06 ^ 2 = 1, 1236). Å doble den halvårlige avkastningen er bare en konvensjon om navnebetingelser. Derfor, hvis vi leser om en 8% -binding sammensatt halvårlig, antar vi at dette refererer til 4% halvårlig utbytte.

Kvartalsvis, månedlig og daglig avkastning

La oss diskutere høyere frekvenser. Vi antar fortsatt en 12% årlig markedsrente. I henhold til konvensjoner om navngivning av obligasjoner innebærer det en 6% halvårlig sammensatt rate. Vi kan nå uttrykke den kvartalsvise sammensatte renten som en funksjon av markedsrenten.

Figur 2

Gitt en årlig markedsrente ( r), er den kvartalsvise sammensatte renten ( r _q ) gitt av:

Så for eksempel, der den årlige markedsrenten er 12%, er den samlede kvartalsrenten 11, 825%:

Figur 3

En lignende logikk gjelder for månedlig sammensetning. Den månedlige sammensatte rente ( r _m ) er gitt her som funksjonen av den årlige markedsrenten ( r):

Den daglige sammensatte rente ( d) som en funksjon av markedsrenten ( r) er gitt av:

Hvordan kontinuerlig blanding fungerer

Figur 4

Hvis vi øker den sammensatte frekvensen til dets grense, blir vi kontinuerlig sammensatt. Selv om dette kanskje ikke er praktisk, tilbyr den kontinuerlig sammensatte renten fantastiske praktiske egenskaper. Det viser seg at den kontinuerlig sammensatte renten er gitt av:

Ln () er den naturlige loggen, og i vårt eksempel er den kontinuerlig sammensatte hastighet derfor:

Vi kommer til samme sted ved å ta den naturlige loggen for dette forholdet: sluttverdien delt på startverdien.

Det siste er vanlig når man beregner kontinuerlig sammensatt avkastning for en aksje. For eksempel, hvis aksjen hopper fra $ 10 en dag til $ 11 neste dag, gis den kontinuerlig sammensatte daglige avkastningen av:

Hva er så bra med den kontinuerlige sammensatte rente (eller avkastning) som vi vil betegne med r _c ">

Merk at e er eksponentiell funksjon. For eksempel, hvis vi starter med $ 100 og kontinuerlig sammensatte til 8% over tre år, blir den endelige formuen gitt av:

Diskontering til nåverdien (PV) er bare sammensatt i revers, så nåverdien av en fremtidig verdi (F) sammensatt kontinuerlig med en hastighet på ( r _c ) er gitt av:

For eksempel, hvis du skal motta $ 100 på tre år under en kontinuerlig kurs på 6%, er nåverdien gitt av:

Skalering over flere perioder

Den praktiske egenskapen til kontinuerlig sammensatt avkastning er at den skalerer over flere perioder. Hvis avkastningen for den første perioden er 4% og avkastningen for den andre perioden er 3%, er to-perioders avkastning 7%. Tenk på at vi starter året med $ 100, som vokser til $ 120 på slutten av det første året, deretter $ 150 på slutten av det andre året. Den kontinuerlig sammensatte avkastningen er henholdsvis 18, 23% og 22, 31%.

Hvis vi bare legger disse sammen, får vi 40, 55%. Dette er to-periode avkastning:

Teknisk sett er den kontinuerlige avkastningen tidskonsistent. Tidskonsistens er et teknisk krav til verdi i fare (VAR). Dette betyr at hvis en enkeltperiodes avkastning er en normalt distribuert tilfeldig variabel, ønsker vi at flere periodes tilfeldige variabler også skal fordeles. Videre fordeles flerårsperioden kontinuerlig sammensatt avkastning normalt (i motsetning til, for eksempel, en enkel prosentvis avkastning).

Bunnlinjen

Vi kan omformulere årlige renter til halvårlige, kvartalsvise, månedlige eller daglige renter (eller avkastningsrenter). Den hyppigste sammensetningen er kontinuerlig sammensetting, noe som krever at vi bruker en naturlig logg og en eksponentiell funksjon, som ofte brukes i finans på grunn av de ønskelige egenskapene - den skaleres lett over flere perioder og det er tidskonsistent.