Hvordan bruke Monte Carlo-simulering med GBM

En av de vanligste måtene å estimere risiko er bruken av en Monte Carlo-simulering (MCS). For å beregne verdien på risiko (VaR) for en portefølje, kan vi for eksempel kjøre en Monte Carlo-simulering som prøver å forutsi det verste sannsynlige tapet for en portefølje gitt et konfidensintervall over en spesifikk tidshorisont (vi må alltid spesifisere to betingelser for VaR: tillit og horisont).

I denne artikkelen vil vi gjennomgå en grunnleggende MCS brukt på en aksjekurs ved å bruke en av de vanligste modellene innen finans: geometrisk Brownian motion (GBM). Derfor, mens Monte Carlo-simulering kan referere til et univers med forskjellige tilnærminger til simulering, vil vi starte her med det mest grunnleggende.

Hvor skal jeg starte

En Monte Carlo-simulering er et forsøk på å forutsi fremtiden mange ganger. På slutten av simuleringen produserer tusenvis eller millioner av "tilfeldige studier" en fordeling av utfall som kan analyseres. De grunnleggende trinnene er som følger:

1. Spesifiser en modell (f.eks. GBM)

For denne artikkelen vil vi bruke Geometric Brownian Motion (GBM), som teknisk er en Markov-prosess. Dette betyr at aksjekursen følger en tilfeldig spasertur og er i samsvar med (i det minste) den svake formen for den effektive markedshypotesen (EMH) - tidligere kursinformasjon er allerede innarbeidet, og den neste kursbevegelsen er "betinget uavhengig" av tidligere prisbevegelser.

Formelen for GBM finner du nedenfor:

Hvor:

• S = Aksjekursen
• Δ S = Endring i aksjekurs
• μ = Den forventede avkastningen
• σ = Standardavviket for avkastning
• ϵ = Den tilfeldige variabelen
• Δ t = Den forløpte tidsperioden

Hvis vi omorganiserer formelen for å løse bare for endring i aksjekurs, ser vi at GBM sier at endringen i aksjekurs er aksjekursen "S" multiplisert med de to begrepene som finnes i parentesen nedenfor:

Det første begrepet er et "drift", og det andre begrepet er et "sjokk." For hver tidsperiode antar vår modell at prisen vil "øke" med forventet avkastning. Men driften vil bli sjokkert (lagt til eller trukket fra) av et tilfeldig sjokk. Det tilfeldige sjokket vil være standardavviket "s" multiplisert med et tilfeldig tall "e." Dette er ganske enkelt en måte å skalere standardavviket på.

Det er kjernen i GBM, som illustrert i figur 1. Aksjekursen følger en serie trinn, der hvert trinn er et drift pluss eller minus et tilfeldig sjokk (i seg selv en funksjon av aksjens standardavvik):

Figur 1

2. Generer tilfeldige forsøk

Bevæpnet med en modellspesifikasjon, fortsetter vi å kjøre tilfeldige studier. For å illustrere har vi brukt Microsoft Excel for å kjøre 40 forsøk. Husk at dette er en urealistisk liten prøve; de fleste simuleringer eller "simmer" kjører minst flere tusen studier.

La oss i dette tilfellet anta at aksjen begynner på dag null med en pris på $ 10. Her er et diagram over utfallet der hvert tidstrinn (eller intervall) er en dag og serien går i ti dager (oppsummert: førti studier med daglige trinn over ti dager):

Figur 2: Geometrisk brownisk bevegelse

Resultatet er førti simulerte aksjekurser på slutten av 10 dager. Ingen har tilfeldigvis falt under $ 9, og en er over $ 11.

3. Behandle utdataene

Simuleringen ga en distribusjon av hypotetiske fremtidige resultater. Vi kunne gjøre flere ting med output.

Hvis vi for eksempel ønsker å estimere VaR med 95% tillit, trenger vi bare å finne det trettifirttende rangerte utfallet (det tredje verste utfallet). Det er fordi 2/40 tilsvarer 5%, så de to verste resultatene er i de laveste 5%.

Hvis vi stabler de illustrerte resultatene i binger (hver søppel er en tredjedel av $ 1, så tre binger dekker intervallet fra $ 9 til $ 10), får vi følgende histogram:

Figur 3

Husk at GBM-modellen vår antar normalitet; prisavkastning blir normalt distribuert med forventet avkastning (gjennomsnitt) "m" og standardavvik "s." Det er interessant at histogrammet vårt ikke ser normalt ut. Faktisk, med flere studier, vil det ikke ha en tendens til normalitet. I stedet vil den ha en tendens mot en lognormal fordeling: et skarpt fall til venstre for middelværet og en svært skjev "lang hale" til høyre for middelværet.

Dette fører ofte til en potensielt forvirrende dynamikk for første gangs studenter:

• Prisoppgave fordeles normalt.
• Prisnivået distribueres normalt.

Tenk på det på denne måten: En aksje kan komme opp eller ned 5% eller 10%, men etter en viss periode kan ikke aksjekursen være negativ. Videre har prisøkninger på oppsiden en sammensatt effekt, mens prisfall på nedsiden reduserer basen: taper 10%, og du sitter igjen med mindre å tape neste gang.

Her er et diagram over den lognormale distribusjonen lagt på våre illustrerte forutsetninger (f.eks. Startpris på $ 10):

Figur 4

Bunnlinjen

En Monte Carlo-simulering bruker en valgt modell (som spesifiserer atferden til et instrument) på et stort sett av tilfeldige studier i et forsøk på å produsere et sannsynlig sett med mulige fremtidige resultater. Når det gjelder simulering av aksjekurser, er den vanligste modellen geometrisk Brownian motion (GBM). GBM antar at en konstant drift er ledsaget av tilfeldige sjokk. Mens periodeavkastningen under GBM normalt distribueres, blir den påfølgende prisnivået (for eksempel ti dager) lognormalt distribuert.