Forstå Binomial Option Pricing Model

Det er utfordrende å bli enige om nøyaktig prisfastsetting for alle omsettelige eiendeler - det er derfor aksjekursene endres kontinuerlig. I virkeligheten endrer selskaper knapt sine verdivurderinger på den daglige basis, men deres aksjekurser og verdivurderinger endrer nesten hvert sekund. Denne vanskeligheten med å oppnå enighet om riktig prisfastsettelse for alle omsettelige eiendeler fører til kortvarige arbitrage-muligheter.

Men mye vellykket investering koker ned til et enkelt spørsmål om dagens verdsettelse - hva er riktig gjeldende pris i dag for en forventet fremtidig gevinst?

Binominalalternativvurdering

For å unngå arbitrage-muligheter, må eiendeler med identiske utbetalingsstrukturer ha samme pris. Verdivurdering av opsjoner har vært en utfordrende oppgave og prisvariasjoner fører til arbitrage muligheter. Black-Scholes er fortsatt en av de mest populære modellene som brukes til prisalternativer, men har begrensninger.

Prismodellen for binomialalternativer er en annen populær metode som brukes til prissettingsalternativer.

eksempler

Anta at det er en samtaleopsjon på en bestemt aksje med en nåværende markedspris på $ 100. At-the-money (ATM) -alternativet har en streikpris på $ 100 med utløp av ett år. Det er to handelsmenn, Peter og Paula, som begge er enige om at aksjekursen enten vil stige til 110 dollar eller falle til 90 dollar på ett år.

De er enige om forventet prisnivå i en gitt tidsramme på ett år, men er uenige om sannsynligheten for opp- eller nedtur. Peter mener at sannsynligheten for at aksjekursen går til $ 110 er 60%, mens Paula mener den er 40%.

Basert på det, hvem ville være villig til å betale mer pris for samtalen? Muligens Peter, ettersom han forventer stor sannsynlighet for oppovergangen.

Binominalalternativberegninger

De to eiendelene, som verdsettelsen avhenger av, er kjøpsopsjonen og den underliggende aksjen. Det er en avtale blant deltakerne om at den underliggende aksjekursen kan flytte fra dagens $ 100 til enten $ 110 eller $ 90 på ett år, og det er ingen andre kursbevegelser mulig.

I en arbitrage-fri verden, hvis du må lage en portefølje som består av disse to eiendelene, call option og underliggende aksje, slik at uansett hvor den underliggende prisen går - $ 110 eller $ 90 - forblir netto avkastning på porteføljen alltid den samme . Anta at du kjøper "d" -andeler av underliggende og kort en samtaleopsjon for å opprette denne porteføljen.

Hvis prisen går til $ 110, vil aksjene være verdt $ 110 * d, og du vil tape 10 dollar på den korte utbetalingen. Nettoverdien av porteføljen din vil være (110d - 10).

Hvis prisen går ned til $ 90, vil aksjene dine være verdt $ 90 * d, og opsjonen utløper verdiløst. Nettoverdien av porteføljen din vil være (90d).

Hvis du vil at porteføljens verdi skal være den samme uansett hvor den underliggende aksjekursen går, bør porteføljeverdien din være den samme i begge tilfeller:

h (d) −m = l (d) hvor: h = Høyeste potensiale underliggende pris = Antall underliggende aksjer m = Penger tapt ved kort utbetaling = Laveste potensiale underliggende pris \ begynn {justert} & h (d) - m = l (d) \\ & \ textbf {hvor:} \\ & h = \ text {Høyeste potensielle underliggende pris} \\ & d = \ text {Antall underliggende aksjer} \\ & m = \ text {Penger tapt ved utbetaling av kort samtale} \\ & l = \ text {Laveste potensielle underliggende pris} \\ \ slutt {justert} h (d) −m = l (d) der: h = Høyeste potensiale underliggende pris = Antall underliggende aksjer m = Penger tapt på kort samtale payoffl = Laveste potensielle underliggende pris

Så hvis du kjøper en halv andel, forutsatt at brøkkjøp er mulig, vil du klare å opprette en portefølje slik at verdien forblir den samme i begge mulige tilstander innen den gitte tidsrammen på ett år.

110d − 10 = 90dd = 12 \ begynne {justert} & 110d - 10 = 90d \\ & d = \ frac {1} {2} \\ \ end {justert} 110d − 10 = 90dd = 21

Denne porteføljeverdien, indikert med (90d) eller (110d - 10) = 45, er ett år nedover. For å beregne nåverdien kan den diskonteres med den risikofrie avkastningen (forutsatt 5%).

Nåværende verdi = 90d × e (−5% × 1 år) = 45 × 0, 9523 = 42, 85 \ begynne {justert} \ tekst {Nåværende verdi} & = 90d \ ganger e ^ {(-5 \% \ ganger 1 \ tekst {År})} \\ & = 45 \ ganger 0, 9523 \\ & = 42, 85 \\ \ slutt {justert} Nåværende verdi = 90d × e (−5% × 1 år) = 45 × 0, 9523 = 42, 85

Siden porteføljen for tiden består av ½ andel av underliggende aksje (med en markedspris på $ 100) og en kort samtale, bør den være lik nåverdien.

12 × 100−1 × Samtalepris = $ 42, 85 Anropspris = $ 7, 14, dvs. anropsprisen for i dag \ begynne {justert} & \ frac {1} {2} \ ganger 100 - 1 \ ganger \ tekst {Anropspris} = \ $ 42.85 \\ & \ text {Samtalepris} = \ $ 7.14 \ tekst {, dvs. dagens anropspris} \\ \ slutt {justert} 21 × 100−1 × Anropspris = $ 42.85 Anropspris = $ 7.14, dvs. dagens pris

Siden dette er basert på antakelsen om at porteføljeverdien forblir den samme uavhengig av hvilken vei den underliggende prisen går, spiller ikke sannsynligheten for en opp- eller nedoverflytting noen rolle. Porteføljen forblir risikofri uavhengig av de underliggende prisutviklingen.

I begge tilfeller (antatt å gå opp til $ 110 og ned til 90 dollar) er porteføljen din nøytral til risikoen og tjener den risikofrie avkastningen.

Derfor ville begge de næringsdrivende, Peter og Paula, være villige til å betale de samme $ 7, 14 for dette samtalealternativet, til tross for deres forskjellige oppfatninger av sannsynligheten for oppgang (60% og 40%). Deres individuelt oppfattede sannsynligheter spiller ingen rolle i opsjonsvurderingen.

Antar at i stedet at de enkelte sannsynlighetene betyr noe, kan arbitrage-muligheter ha presentert seg. I den virkelige verden eksisterer slike arbitrage-muligheter med mindre prisforskjeller og forsvinner på kort sikt.

Men hvor er den mye hyped volatiliteten i alle disse beregningene, en viktig og sensitiv faktor som påvirker prisfastsettelse av alternativene?

Volatiliteten er allerede inkludert av arten av problemets definisjon. Forutsatt at to (og bare to - derav navnet “binomial”) angir prisnivåer ($ 110 og $ 90), er volatilitet implisitt i denne forutsetningen og inkluderes automatisk (10% uansett i dette eksemplet).

Black-Scholes

Men er denne tilnærmingen riktig og koherent med de vanlige Black-Scholes-prisene? Kalkulatorresultater (med tillatelse av OIC) stemmer godt overens med den beregnede verdien:

Dessverre er den virkelige verden ikke så enkel som “bare to stater.” Aksjen kan nå flere prisnivåer før utløpet.

Er det mulig å inkludere alle disse flere nivåer i en binomisk prismodell som bare er begrenset til to nivåer ">

Enkel matematikk

Slik generaliserer du dette problemet og løsningen:

"X" er den nåværende markedsprisen på en aksje, og "X * u" og "X * d" er fremtidige priser for opp- og nedturer "t" år senere. Faktoren "u" vil være større enn en da den indikerer en oppovergang og "d" vil ligge mellom null og en. For eksempelet ovenfor er u = 1, 1 og d = 0, 9.

Utbetalingen av samtalealternativet er "P _opp " og "P _dn " for opp- og nedoverføringer ved utløpet.

Hvis du bygger en portefølje av "s" aksjer som er kjøpt i dag og korter ett alternativ, vil "t" etter tid:

VUM = s × X × u − Pupwhere: VUM = Verdien av porteføljen i tilfelle en oppovergang \ begynne {justert} & \ tekst {VUM} = s \ ganger X \ ganger u - P_ \ tekst {opp} \\ & \ textbf {hvor:} \\ & \ text {VUM} = \ tekst {Verdien av porteføljen i tilfelle oppover} \\ \ end {alignet} VUM = s × X × u − Pup hvor: VUM = Verdien av porteføljen i tilfelle oppgang

VDM = s × X × d − Pdownwhere: VDM = Verdi av portefølje i tilfelle nedtur \ begynne {justert} & \ tekst {VDM} = s \ ganger X \ ganger d - P_ \ tekst {ned} \\ & \ textbf {hvor:} \\ & \ text {VDM} = \ tekst {Verdi av portefølje i tilfelle nedtur} \\ \ end {alignet} VDM = s × X × d − Pdown hvor: VDM = Verdien av porteføljen i tilfelle nedgang

For lignende verdivurdering i begge tilfeller av prisflytting:

s × X × u − Pup = s × X × d − Nedturer \ ganger X \ ganger u - P_ \ tekst {opp} = s \ ganger X \ ganger d - P_ \ tekst {ned} s × X × u− pup = s x X x D-Pdown

s = Pup − PdownX × (u − d) = Antall aksjer å kjøpe for = en risikofri portefølje \ begynne {justert} s & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down} } {X \ times (u - d)} \\ & = \ text {Antallet aksjer du vil kjøpe for} \\ & \ phantom {=} \ text {en risikofri portefølje} \\ \ end {alignet} s = X × (u − d) Pup −Pdown = Antall aksjer å kjøpe for = en risikofri portefølje

Den fremtidige verdien av porteføljen ved slutten av "t" år vil være:

I tilfelle Up Move = s × X × u − Pup = Pup − Pdownu − d × u − Pup \ begynne {justert} \ tekst {I tilfelle Up Move} & = s \ ganger X \ ganger u - P_ \ tekst {opp} \\ & = \ frac {P_ \ tekst {opp} - P_ \ tekst {ned}} {u - d} \ ganger u - P_ \ tekst {opp} \\ \ end {justert} I tilfelle Oppover = s × X × u − Pup = u − dPup −Pdown × u − Pup

I tilfelle Down Move = s × X × d − Pdown = Pup − Pdownu − d × d − Pdown \ begin {justert} \ tekst {I tilfelle av Down Move} & = s \ ganger X \ ganger d - P_ \ tekst {ned} \\ & = \ frac {P_ \ tekst {opp} - P_ \ tekst {ned}} {u - d} \ ganger d - P_ \ tekst {ned} \\ \ slutt {justert} I tilfelle Down Move = s × X × d − Pdown = u − dPup −Pdown × d − Pdown

Den nåværende verdien kan oppnås ved å diskontere den med den risikofrie avkastningen:

PV = e (−rt) × [Pup − Pdownu − d × u − Pup] hvor: PV = nåtidens verdsetter = rate of returnt = tid, i år \ begynne {justert} & \ tekst {PV} = e (-rt) \ ganger \ venstre [\ frac {P_ \ tekst {opp} - P_ \ tekst {ned}} {u - d} \ ganger u - P_ \ tekst {opp} \ høyre] \\ & \ textbf { hvor:} \\ & \ text {PV} = \ text {Nåværende verdi} \\ & r = \ text {Returhastighet} \\ & t = \ text {Tid, i år} \\ \ slutt {justert} PV = e (−rt) × [u − dPup −Pdown × u − Pup] hvor: PV = nåtidens verdsetter = rate of returnt = tid, i år

Dette skal samsvare med porteføljebeholdningen av "s" -aksjer til X-pris, og kort anropsverdi "c" (dagens eierandel av (s * X - c) skal være lik denne beregningen.) Å løse for "c" gir det til slutt som:

Merk: Hvis anropspremien blir kortsluttet, bør den være et tillegg til porteføljen, ikke en subtraksjon.

c = e (−rt) u − d × [(e (−rt) −d) × Pup + (u − e (−rt)) × Pdown] c = \ frac {e (-rt)} {u - d} \ ganger [(e (-rt) - d) \ ganger P_ \ tekst {opp} + (u - e (-rt)) \ ganger P_ \ tekst {ned}] c = u − de (−rt) x [(e (-rt) -d) x Pup + (u-e (-rt)) x Pdown]

En annen måte å skrive ligningen på er ved å omorganisere den:

Tar "q" som:

q = e (−rt) −du − dq = \ frac {e (-rt) - d} {u - d} q = u − de (−rt) −d

Da blir ligningen:

c = e (−rt) × (q × Pup + (1 − q) × Pdown) c = e (-rt) \ ganger (q \ ganger P_ \ tekst {opp} + (1 - q) \ ganger P_ \ tekst {ned}) c = e (−rt) × (q × Pup + (1 − q) × Pdown)

Å omorganisere ligningen i form av “q” har gitt et nytt perspektiv.

Nå kan du tolke “q” som sannsynligheten for oppoverføring av det underliggende (da “q” er assosiert med P _up og “1-q” er assosiert med P _dn ). Samlet sett representerer ligningen dagens opsjonskurs, den diskonterte verdien av utbetalingen ved utløpet.

Denne "Q" er annerledes

Hvordan er denne sannsynligheten "q" forskjellig fra sannsynligheten for en opptur eller en nedoverføring av det underliggende ">

VSP = q × X × u + (1 − q) × X × dwhere: VSP = Verdi av aksjekurs på tidspunktet t \ begynne {justert} & \ tekst {VSP} = q \ ganger X \ ganger u + (1 - q) \ ganger X \ ganger d \\ & \ textbf {hvor:} \\ & \ text {VSP} = \ text {Verdi av aksjekurs på tidspunkt} t \\ \ end {justert} VSP = q × X × u + (1 − q) × X × dwhere: VSP = Verdi av aksjekurs på tidspunktet t

Ved å erstatte verdien av "q" og omorganisere, kommer aksjekursen til tiden "t" til:

Aksjekurs = e (rt) × X \ begynne {justert} & \ tekst {Aksjekurs} = e (rt) \ ganger X \\ \ slutt {justert} Aksjekurs = e (rt) × X

I denne antatte verdenen av to-stater, stiger aksjekursen ganske enkelt med den risikofrie avkastningskursen, akkurat som en risikofri eiendel, og dermed forblir den uavhengig av risiko. Investorer er likegyldige til risiko under denne modellen, så dette utgjør den risikonøytrale modellen.

Sannsynlighet “q” og “(1-q)” er kjent som risikonøytrale sannsynligheter, og verdsettelsesmetoden er kjent som den risikonøytrale verdsettelsesmodellen.

Eksempelscenariet har ett viktig krav - den fremtidige utbetalingsstrukturen er påkrevd med presisjon (nivå $ 110 og $ 90). I det virkelige liv er ikke slik klarhet om trinnbaserte prisnivåer; snarere prisen beveger seg tilfeldig og kan avgjøre på flere nivåer.

For å utvide eksemplet ytterligere, antar du at prisnivået i to trinn er mulig. Vi kjenner de siste utbetalingene av det andre trinnet, og vi må verdsette alternativet i dag (på det første trinnet):

Arbeider bakover, kan den mellomliggende første trinnsverdsettelsen (ved t = 1) gjøres ved bruk av endelige utbetalinger i trinn to (t = 2), og deretter bruke disse beregnet første trinns verdsettelse (t = 1), den nåværende verdsettelsen 0) kan nås med disse beregningene.

For å få opsjonspriser på nummer to, brukes utbetalinger på fire og fem. For å få priser for nummer tre brukes utbetalinger på fem og seks. Til slutt brukes beregnede utbetalinger ved to og tre for å få priser på nummer én.

Vær oppmerksom på at dette eksemplet forutsetter samme faktor for opp- og nedoverføringer i begge trinn - u og d brukes på en sammensatt måte.

Et arbeidseksempel

Anta at en salgsopsjon med en streikpris på $ 110, handler for tiden for $ 100 og utløper om ett år. Den årlige risikofri renten er på 5%. Prisen forventes å øke med 20% og synke med 15% hvert halvår.

Her er u = 1, 2 og d = 0, 85, x = 100, t = 0, 5

ved å bruke ovennevnte avledede formel av

q = e (−rt) −du − dq = \ frac {e (-rt) - d} {u - d} q = u − de (−rt) −d

vi får q = 0, 35802832

verdien av salgsopsjonen i punkt 2,

p2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn) hvor: p = Pris for salgsalternativet \ begynne {justert} & p_2 = e (-rt) \ ganger (p \ ganger P_ \ tekst {upup} + (1 - q) P_ \ text {updn}) \\ & \ textbf {hvor:} \\ & p = \ text {Pris for salgsalternativet} \\ \ end {linje} p2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn) hvor: p = Pris for salgsalternativet

Ved P _upup- tilstand vil underliggende være = 100 * 1, 2 * 1, 2 = $ 144 som fører til P _upup = null

Ved P _updn- tilstand vil underliggende være = 100 * 1, 2 * 0, 85 = $ 102 som fører til P _updn = $ 8

Ved P _dndn- tilstand vil underliggende være = 100 * 0, 85 * 0, 85 = 72, 25 dollar som fører til P _dndn = $ 37, 75

p ₂ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 0 + (1-0, 35802832) * 8) = 5, 008970741

Tilsvarende p ₃ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 8 + (1-0, 35802832) * 37, 75) = 26.42958924

p1 = e (−rt) × (q × p2 + (1 − q) p3) p_1 = e (-rt) \ ganger (q \ ganger p_2 + (1 - q) p_3) p1 = e (−rt) x (q x p2 + (1-q) p3)

Og derav verdien av salgsopsjonen, p ₁ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 5, 008970741 + (1-0.35802832) * 26.42958924) = $ 18.29.

På samme måte lar binomiale modeller deg bryte hele varigheten til å videreutvikle flere trinn og nivåer. Ved hjelp av dataprogrammer eller regneark kan du jobbe bakover ett trinn for å få nåverdien av ønsket alternativ.

Et annet eksempel

Anta en europeisk salgsopsjon med ni måneder til utløp, en streikpris på $ 12 og en nåværende underliggende pris til $ 10. Anta en risikofri rente på 5% for alle perioder. Anta hver tredje måned, den underliggende prisen kan bevege seg 20% ​​opp eller ned, og gi oss u = 1, 2, d = 0, 8, t = 0, 25 og et tretrinns binomialtre.

Rødt indikerer underliggende priser, mens blått indikerer utbetalingen av salgsopsjoner.

Risikonøytral sannsynlighet "q" beregnes til 0, 531446.

Ved å bruke ovennevnte verdi av "q" og utbetalingsverdier ved t = ni måneder, beregnes de tilsvarende verdiene ved t = seks måneder som:

Ved bruk av disse beregne verdiene ved t = 6 er verdiene ved t = 3 og deretter ved t = 0:

Det gir den nåværende verdien av et salgsalternativ som $ 2, 18, ganske nær det du kan finne på å gjøre beregningene ved hjelp av Black-Scholes-modellen ($ 2, 30).

Bunnlinjen

Selv om bruk av dataprogrammer kan gjøre disse intensive beregningene enkle, er forutsigelsen om fremtidige priser fortsatt en viktig begrensning av binomiale modeller for opsjonering. Jo finere tidsintervaller, jo vanskeligere blir det å forutsi utbetalingen ved slutten av hver periode med presisjon på høyt nivå.

Fleksibiliteten til å innlemme endringene som forventes i forskjellige perioder er imidlertid et pluss, noe som gjør det egnet til å prissette amerikanske opsjoner, inkludert verdsettelser tidlig.

Verdiene beregnet ved bruk av binomialmodellen stemmer godt overens med de som er beregnet fra andre ofte brukte modeller som Black-Scholes, noe som indikerer bruken og nøyaktigheten til binomialmodeller for prisfastsetting av opsjoner. Binomial prismodeller kan utvikles i henhold til en næringsdrivers preferanser og kan fungere som et alternativ til Black-Scholes.