Forskjellen mellom aritmetisk gjennomsnitt og geometrisk gjennomsnitt

Det er mange måter å måle resultatene i finansiell portefølje og bestemme om en investeringsstrategi er vellykket. Investering fagfolk bruker ofte det geometriske gjennomsnittet , mer ofte kalt det geometriske middelverdien, for å gjøre dette.

Det geometriske gjennomsnittet skiller seg fra det aritmetiske gjennomsnittet, eller det aritmetiske gjennomsnittet, i hvordan det beregnes fordi det tar hensyn til sammensetningen som oppstår fra periode til periode. På grunn av dette vurderer investorer vanligvis det geometriske middelverdien som et mer nøyaktig mål på avkastningen enn det aritmetiske gjennomsnittet.

Formelen for aritmetisk gjennomsnitt

A = 1n∑i = 1nai = a1 + a2 +… + annwhere: a1, a2, ..., an = Portfolio returnerer for periode nn = Antall perioder \ begynne {justert} & A = \ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n a_i = \ frac {a_1 + a_2 + \ dotso + a_n} {n} \\ & \ textbf {hvor:} \\ & a_1, a_2, \ dotso, a_n = \ text {Portfolio returnerer for periode} n \\ & n = \ tekst {Antall perioder} \\ \ slutt {justert} A = n1 i = 1∑n ai = na1 + a2 +… + en hvor: a1, a2, ..., an = Portfolio returnerer for periode nn = Antall perioder

Aritmetisk gjennomsnitt

Hvordan beregne det aritmetiske gjennomsnittet

Et aritmetisk gjennomsnitt er summen av en serie med tall dividert med tellingen av den serien med tall.

Hvis du ble bedt om å finne klassen (aritmetisk) gjennomsnitt av testpoengene, ville du bare lagt sammen alle testresultatene til studentene og deretter delt summen med antall elever. Hvis for eksempel fem studenter tok en eksamen og poengsummene deres var 60%, 70%, 80%, 90% og 100%, vil det aritmetiske klasses gjennomsnittet være 80%.

Dette vil bli beregnet som:

60% + 70% + 80% + 90% + 100% 5 = 80% \ begynne {justert} & \ frac {60 \% + 70 \% + 80 \% + 90 \% + 100 \%} {5 } = 80 \% \\ \ end {justert} 560% + 70% + 80% + 90% + 100% = 80%

Årsaken til at vi bruker et aritmetisk gjennomsnitt for testresultater, er at hver poengsum er en uavhengig hendelse. Hvis en student tilfeldigvis presterer dårlig på eksamen, påvirkes ikke den neste studentens sjanser for å gjøre det dårlig (eller vel) på eksamen.

I finansverdenen er det aritmetiske gjennomsnittet vanligvis ikke en passende metode for å beregne et gjennomsnitt. Vurder investeringsavkastning, for eksempel. Anta at du har investert sparepengene dine i finansmarkedene i fem år. Hvis porteføljens avkastning hvert år var 90%, 10%, 20%, 30% og -90%, hva ville din gjennomsnittlige avkastning være i løpet av denne perioden?

Med det aritmetiske gjennomsnittet ville gjennomsnittlig avkastning være 12%, noe som ved første øyekast ser ut til å være imponerende - men det er ikke helt nøyaktig. Det er fordi når det gjelder årlig investeringsavkastning, er ikke tallene uavhengige av hverandre. Hvis du taper et betydelig beløp i et bestemt år, har du så mye mindre kapital å investere og generere avkastning de neste årene.

Vi må beregne det geometriske gjennomsnittet av investeringsavkastningen for å komme frem til en nøyaktig måling av hva den faktiske gjennomsnittlige årlige avkastningen over femårsperioden ville være.

Formelen for geometrisk gjennomsnitt

(∏i = 1nxi) 1n = x1x2… xnnwhere: x1, x2, ⋯ = Portefølje returnerer for hver periode n = Antall perioder \ begynne {justert} og \ venstre (\ prod_ {i = 1} ^ n x_i \ høyre) ^ {\ frac {1} {n}} = \ sqrt [n] {x_1 x_2 \ dots x_n} \\ & \ textbf {hvor:} \\ & x_1, x_2, \ dots = \ text {Portfolio returneres for hver periode } \\ & n = \ text {Antall perioder} \\ \ slutt {justert} (i = 1∏n xi) n1 = nx1 x2 ... xn hvor: x1, x2, ⋯ = Portefølje avkastning for hver perioden = Antall perioder

Hvordan beregne det geometriske gjennomsnittet

Det geometriske middelverdien for en rekke tall beregnes ved å ta produktet av disse tallene og heve det til invers av lengden på serien.

For å gjøre dette legger vi til ett til hvert tall (for å unngå problemer med negative prosenter). Multipliser deretter alle tallene sammen, og løft opp produktet til kraften til en, delt på antall teller i serien. Deretter trekker vi en fra resultatet.

Formelen, skrevet i desimaler, ser slik ut:

[(1 + R1) × (1 + R2) × (1 + R3)… × (1 + Rn)] 1n − 1 hvor: R = Returnn = Antall tall i serien \ begynne {justert} & [( 1 + \ tekst {R} _1) \ ganger (1 + \ tekst {R} _2) \ ganger (1 + \ tekst {R} _3) \ dotso \ ganger (1 + \ tekst {R} _n)] ^ { \ frac {1} {n}} - 1 \\ & \ textbf {hvor:} \\ & \ text {R} = \ text {Return} \\ & n = \ text {Antall tall i serien} \ \ \ slutt {justert} [(1 + R1) × (1 + R2) × (1 + R3) ... × (1 + Rn)] n1 −1 hvor: R = Returnn = Antall tall i serien

Formelen ser ut til å være ganske intens, men på papiret er den ikke så kompleks. Når vi kommer tilbake til vårt eksempel, la oss beregne det geometriske gjennomsnittet: Avkastningen var 90%, 10%, 20%, 30% og -90%, så vi kobler dem til formelen som:

(1, 9 × 1, 1 × 1, 2 × 1, 3 × 0, 1) 15−1 \ begynne {justert} & (1, 9 \ ganger 1, 1 \ ganger 1, 2 \ ganger 1, 3 \ ganger 0, 1) ^ {\ frac {1} {5}} -1 \ \ \ slutt {justert} (1, 9 × 1, 1 × 1, 2 × 1, 3 × 0, 1) 51 −1

Resultatet gir en geometrisk gjennomsnittlig årlig avkastning på -20, 08%. Resultatet ved å bruke det geometriske gjennomsnittet er mye dårligere enn det aritmetiske gjennomsnittet på 12% vi beregnet tidligere, og dessverre er det også tallet som representerer virkeligheten i dette tilfellet.

Viktige takeaways

• Det geometriske gjennomsnittet er mest passende for serier som viser seriell korrelasjon. Dette gjelder spesielt for investeringsporteføljer.
• De fleste avkastninger i finans er korrelert, inkludert avkastning på obligasjoner, aksjeavkastning og markedsrisikopremier. Jo lengre tidshorisont, jo mer kritisk sammensetting blir det, og desto mer passende er bruk av geometrisk middelverdi.
• For flyktige tall gir det geometriske gjennomsnittet en langt mer nøyaktig måling av den virkelige avkastningen ved å ta hensyn til sammensetting fra år til år.