Lognormal og normal distribusjon

Matematikken bak økonomi kan være litt forvirrende og kjedelig. Heldigvis gjør de fleste dataprogrammer komplekse beregninger. Å forstå de forskjellige statistiske begrepene og metodene, deres betydning og som best analyserer investeringene er imidlertid avgjørende når du velger den aktuelle sikkerheten og får den ønskede effekten på en portefølje.

En viktig beslutning er å velge mellom normale kontra lognormale fordelinger, begge blir ofte referert til i forskningslitteratur. Før du velger, må du vite:

• Hva de er
• Hvilke forskjeller finnes mellom dem
• Hvordan de påvirker investeringsbeslutningene

Normalt versus lognormalt

Både normal og lognormal fordeling brukes i statistisk matematikk for å beskrive sannsynligheten for at en hendelse skal inntreffe. Å vende en mynt er et lett forståelig eksempel på sannsynlighet. Hvis du vipper en mynt 1000 ganger, hva er fordelingen av resultatene? Det vil si hvor mange ganger vil den lande på hoder eller haler? Det er 50% sannsynlighet for at den vil lande på enten hoder eller haler. Dette grunnleggende eksemplet beskriver sannsynligheten og fordelingen av resultater.

Det er mange typer distribusjoner, hvorav den ene er normal- eller klokkekurvefordelingen. (Se figur 1.)

I en normalfordeling faller 68% (34% + 34%) av resultatene innenfor ett standardavvik, og 95% (68% + 13, 5% + 13, 5%) faller innenfor to standardavvik. I midten (0-punktet i bildet over) er medianen (midtverdien i settet), modus (verdien som forekommer oftest), og gjennomsnittet (aritmetisk gjennomsnitt) er like.

Den lognormale fordelingen skiller seg fra normalfordelingen på flere måter. En stor forskjell er i sin form: normalfordelingen er symmetrisk, mens den lognormale fordelingen ikke er. Fordi verdiene i en lognormal fordeling er positive, skaper de en høyre-skjev kurve. (Se fig 2)

Denne skjevheten er viktig for å bestemme hvilken distribusjon som er passende å bruke i beslutningsprosesser for investeringer. Et ytterligere skille er at verdiene som brukes for å utlede en lognormal fordeling, normalt fordeles.

La oss avklare med et eksempel. En investor vil vite en forventet fremtidig aksjekurs. Siden aksjer vokser med en sammensatt hastighet, må hun bruke en vekstfaktor. For å beregne mulige forventede priser vil hun ta den nåværende aksjekursen og multiplisere den med forskjellige avkastningskurser (som er matematisk avledede eksponentielle faktorer basert på sammensetting), som antas å være normalfordelt. Når investoren kontinuerlig sammensetter avkastningen, oppretter hun en lognormal fordeling. Denne fordelingen er alltid positiv selv om noen av avkastningskursene er negative, noe som vil skje 50% av tiden i en normal fordeling. Den fremtidige aksjekursen vil alltid være positiv fordi aksjekursene ikke kan falle under $ 0.

Når skal jeg bruke normal versus lognormal distribusjon

Det foregående eksemplet hjalp oss med å komme fram til det som virkelig betyr noe for investorene: når vi skal bruke hver metode. Lognormal er ekstremt nyttig når du analyserer aksjekurser. Så lenge vekstfaktoren som antas å være normalfordelt (som vi antar med avkastningstakten) antar at lognormalfordelingen er fornuftig. Normal distribusjon kan ikke brukes til å modellere aksjekurser fordi den har en negativ side, og aksjekursene kan ikke falle under null.

En annen lignende bruk av den lognormale distribusjonen er å prissette alternativer. Black-Scholes-modellen - brukt til å prisalternativer - bruker den lognormale distribusjonen som basis for å bestemme opsjonsprisene.

Motsatt fungerer normalfordeling bedre når du beregner total porteføljeavkastning. Normaldistribusjonen brukes fordi det vektede gjennomsnittlige avkastningen (produktet av vekten til en verdipapir i en portefølje og dens avkastningskurs) er mer nøyaktig når det gjelder å beskrive den faktiske porteføljeavkastningen (positiv eller negativ), spesielt hvis vektene varierer fra stor grad. Følgende er et typisk eksempel:

Porteføljeholdingsvekter Returnerer vektet avkastning

Lager A 40% 12% 40% * 12% = 4, 8%

Lager B 60% 6% 60% * 6% = 3, 6%

Total vektet gjennomsnittlig avkastning = 4, 8% + 3, 6% = 8, 4%

Selv om den lognormale avkastningen for total porteføljeytelse kan være raskere å beregne over en lengre periode, klarer den ikke å fange opp de individuelle aksjevektene, noe som kan forvrenge avkastningen enormt. Porteføljeavkastning kan også være positiv eller negativ, og en lognormal fordeling klarer ikke å fange opp de negative aspektene.

Bunnlinjen

Selv om nyansene som skiller normal og lognormal distribusjon kan unnslippe oss mesteparten av tiden, vil kunnskap om utseendet og egenskapene til hver distribusjon gi innsikt i hvordan man kan modellere porteføljeavkastning og fremtidige aksjekurser.