Bruke vanlige distribusjonsmetoder for aksjesannsynlighet

Nesten uavhengig av hva du mener om markedets forutsigbarhet eller effektivitet, er du sannsynligvis enig i at garantert avkastning er usikkert eller risikabelt for de fleste eiendeler. Hvis vi ignorerer regnestykket som ligger til grunn for sannsynlighetsfordelinger, kan vi se at det er bilder som beskriver et bestemt syn på usikkerhet. Sannsynlighetsfordelingen er en statistisk beregning som beskriver sjansen for at en gitt variabel vil falle mellom eller innenfor et spesifikt område på et plottdiagram.

Usikkerhet refererer til tilfeldighet. Det er forskjellig fra mangel på forutsigbarhet eller markedseffektivitet. Et fremvoksende forskningssyn mener at finansmarkedene både er usikre og forutsigbare. Markedene kan også være effektive, men også usikre.

I økonomi bruker vi sannsynlighetsfordelinger for å tegne bilder som illustrerer vårt syn på en eiendelsreturs følsomhet når vi tror at eiendelens avkastning kan betraktes som en tilfeldig variabel. I denne artikkelen skal vi gå over noen av de mest populære sannsynlighetsfordelingene og vise deg hvordan du beregner dem.

Distribusjoner kan kategoriseres som enten diskrete eller kontinuerlige, og enten det er en sannsynlighetstetthetsfunksjon (PDF) eller en kumulativ distribusjon.

Diskrete kontra kontinuerlige distribusjoner

Diskret refererer til en tilfeldig variabel trukket fra et begrenset sett med mulige utfall. En seks-sidig terning har for eksempel seks separate utfall. En kontinuerlig distribusjon refererer til en tilfeldig variabel trukket fra et uendelig sett. Eksempler på kontinuerlige tilfeldige variabler inkluderer hastighet, distanse og noe avkastning. En diskret tilfeldig variabel er illustrert typisk med prikker eller streker, mens en kontinuerlig variabel er illustrert med en hel linje. Figur 1 viser diskrete og kontinuerlige fordelinger for en normalfordeling med gjennomsnitt (forventet verdi) på 50 og et standardavvik på 10:

Figur 1

Distribusjonen er et forsøk på å kartlegge usikkerhet. I dette tilfellet er et utfall på 50 det mest sannsynlige, men bare vil skje omtrent 4% av tiden; et utfall på 40 er ett standardavvik under gjennomsnittet, og det vil skje i underkant av 2, 5% av tiden.

Sannsynlighetstetthet kontra kumulativ distribusjon

Det andre skillet er mellom sannsynlighetstetthetsfunksjonen (PDF) og den kumulative fordelingsfunksjonen. PDF-en er sannsynligheten for at vår tilfeldige variabel når en spesifikk verdi (eller i tilfelle av en kontinuerlig variabel, for å falle mellom et intervall). Vi viser at ved å indikere sannsynligheten for at en tilfeldig variabel X vil være lik en faktisk verdi x:

P [x = X] \ begynne {justert} & P [x = X] \\ \ end {justert} P [x = X]

Den kumulative fordelingen er sannsynligheten for at tilfeldig variabel X vil være mindre enn eller lik den faktiske verdien x:

P [x <= X] \ begynne {justert} & P [x <= X] \\ \ end {justert} P [x <= X]

eller for eksempel, hvis høyden din er en tilfeldig variabel med en forventet verdi på 5'10 "inches (foreldrenes gjennomsnittlige høyde), er PDF-spørsmålet:" Hva er sannsynligheten for at du vil nå en høyde på 5'4 "" >

Figur 1 viste to normale fordelinger. Du kan nå se at disse er PDF-plotter (sannsynlighetsdensitetsfunksjon). Hvis vi plottet nøyaktig samme distribusjon som en kumulativ distribusjon, får vi følgende:

Figur 2

Den kumulative fordelingen må til slutt nå 1, 0 eller 100% på y-aksen. Hvis vi hever søylen høyt nok, vil på et tidspunkt praktisk talt alle utfall falle under den søylen (vi kan si at fordelingen typisk er asymptotisk til 1, 0).

Finans, en samfunnsvitenskap, er ikke så ren som fysiske vitenskaper. Tyngdekraften har for eksempel en elegant formel som vi kan stole på gang på gang. Avkastning av finansielle eiendeler kan derimot ikke kopieres så konsekvent. En svimlende sum penger har blitt tapt gjennom årene av smarte mennesker som forvekslet de nøyaktige fordelingene (dvs. som avledet fra fysiske vitenskaper) med de rotete, upålitelige tilnærmelsene som prøver å skildre økonomisk avkastning. I finans er sannsynlighetsfordelinger lite mer enn rå billedlige representasjoner.

Uniform distribusjon

Den enkleste og mest populære fordelingen er den enhetlige fordelingen, der alle utfall har en like stor sjanse for å oppstå. En seks-sidig dyse har en jevn fordeling. Hvert utfall har en sannsynlighet på omtrent 16, 67% (1/6). Plottet vårt nedenfor viser den solide linjen (slik at du kan se den bedre), men husk at dette er en diskret distribusjon - du kan ikke rulle 2.5 eller 2.11:

Figur 3

Rull nå to terninger sammen, som vist i figur 4, og fordelingen er ikke lenger jevn. Den topper seg på syv, som tilfeldigvis har en sjanse på 16, 67%. I dette tilfellet er alle andre utfall mindre sannsynlige:

Figur 4

Rull nå tre terninger sammen, som vist i figur 5. Vi begynner å se effekten av et mest fantastisk teorem: den sentrale grense-setningen. Den sentrale grense-setningen lover frimodig at summen eller gjennomsnittet av en serie uavhengige variabler vil ha en tendens til å bli normalt fordelt, uavhengig av egen fordeling . Terningene våre er individuelt ensartede, men kombinerer dem, og - når vi legger til flere terninger - vil summen nesten på en magisk tendens mot den kjente normalfordelingen.

Figur 5

Binomial distribusjon

Binomialfordelingen reflekterer en serie "enten / eller" forsøk, for eksempel en serie med myntkast. Dette kalles Bernoulli-forsøk - som refererer til hendelser som bare har to utfall - men du trenger ikke engang (50/50) odds. Binomialfordelingen nedenfor plotter en serie på 10 myntkast der sannsynligheten for hoder er 50% (p-0.5). Du kan se i figur 6 at sjansen for å snu nøyaktig fem hoder og fem haler (rekkefølge ikke betyr noe) bare er sjenert for 25%:

Figur 6

Hvis binomialfordelingen ser normal ut for deg, har du rett i det. Når antallet forsøk øker, tenderer binomialet mot normalfordeling.

Lognormal distribusjon

Den lognormale distribusjonen er veldig viktig innen finans fordi mange av de mest populære modellene antar at aksjekursene blir distribuert lognormalt. Det er lett å forveksle kapitalavkastning med prisnivå.

Avkastning på eiendeler blir ofte behandlet som normalt - en aksje kan gå opp 10% eller ned 10%. Prisnivåer blir ofte behandlet som lognormale - en aksje på $ 10 kan gå opp til $ 30, men den kan ikke gå ned til - $ 10. Den lognormale fordelingen er ikke-null og skjev til høyre (igjen, en bestand kan ikke falle under null, men den har ingen teoretisk opp-grense):

Figur 7

Poisson

Poisson-distribusjonen brukes til å beskrive oddsen for at en viss hendelse (f.eks. Et daglig porteføljetap under 5%) oppstår over et tidsintervall. Så i eksemplet nedenfor antar vi at noen operasjonsprosesser har en feilrate på 3%. Vi antar videre 100 tilfeldige studier; Poisson-distribusjonen beskriver sannsynligheten for å få et visst antall feil over en viss periode, for eksempel en enkelt dag.

Figur 8

Studentens T

Studentens T-distribusjon er også veldig populær fordi den har en litt "fetere hale" enn normalfordelingen. Studentens T brukes typisk når utvalgsstørrelsen vår er liten (dvs. mindre enn 30). I finans representerer venstre hale tapene. Derfor, hvis utvalgsstørrelsen er liten, tør vi undervurdere oddsen for et stort tap. Den fetere halen på studentens T vil hjelpe oss her ute. Likevel hender det at denne distribusjonens fete hale ofte ikke er feit nok. Økonomisk avkastning har en tendens til å vise, ved sjeldne katastrofale anledninger, virkelig fett-haletap (dvs. fetere enn forutsagt av distribusjonene). Store pengesummer har gått tapt for å gjøre dette poenget.

Figur 9

Betadistribusjon

Endelig er beta-distribusjonen (for ikke å forveksle med beta-parameteren i prismodellen for kapitalforvaltning) populær blant modeller som estimerer utvinningsgraden på obligasjonsporteføljer. Betadistribusjonen er verktøyets spiller for distribusjoner. Som normalt trenger den bare to parametere (alfa og beta), men de kan kombineres for enestående fleksibilitet. Fire mulige beta-distribusjoner er illustrert i figur 10 nedenfor:

Figur 10

Bunnlinjen

Som så mange sko i det statistiske skoskapet vårt, prøver vi å velge den beste passformen for anledningen, men vi vet ikke helt hva været holder for oss. Vi kan velge en normalfordeling og deretter finne ut at det er undervurdert tap av venstre hale; så vi bytter til en skjev fordeling, bare for å finne at dataene ser mer "normale ut" i neste periode. Den elegante regnestykket under kan forføre deg til å tro at disse fordelingene avslører en dypere sannhet, men det er mer sannsynlig at de bare er menneskelige gjenstander. For eksempel er alle distribusjonene vi har gjennomgått ganske jevn, men noen avkastning av eiendeler hopper diskontinuerlig.

Normaldistribusjonen er allestedsnær og elegant, og den krever bare to parametere (gjennomsnitt og distribusjon). Mange andre distribusjoner konvergerer mot det normale (f.eks. Binomial og Poisson). Imidlertid fortjener ikke mange situasjoner, for eksempel avkastning i hedgefond, kredittporteføljer og alvorlige tapshendelser, den normale fordelingen.