Utforske det eksponentielt veide glidende gjennomsnittet

Flyktighet er det vanligste målet på risiko, men det kommer i flere smaker. I en forrige artikkel viste vi hvordan du beregner enkel historisk volatilitet. I denne artikkelen vil vi forbedre enkel volatilitet og diskutere det eksponentielt vektede glidende gjennomsnittet (EWMA).

Historisk vs. implisitt volatilitet

La oss først sette denne beregningen i et lite perspektiv. Det er to brede tilnærminger: historisk og underforstått (eller implisitt) flyktighet. Den historiske tilnærmingen forutsetter at fortid er prolog; vi måler historien i håp om at den er forutsigbar. Underforstått ustabilitet derimot, ignorerer historien; den løser for volatiliteten som er antydet av markedspriser. Den håper at markedet vet best og at markedsprisen inneholder, selv om implisitt, et konsensusestimat av volatilitet.

Hvis vi fokuserer på bare de tre historiske tilnærmingene (til venstre ovenfor), har de to trinn til felles:

1. Beregn serien med periodiske avkastninger
2. Bruk et vektingsopplegg

Først beregner vi den periodiske avkastningen. Det er vanligvis en serie med daglige avkastninger der hver avkastning kommer til uttrykk i kontinuerlig sammensatte vilkår. For hver dag tar vi den naturlige loggen over forholdet mellom aksjekurser (dvs. pris i dag delt på pris i går, og så videre).

ui = lnsisi − 1 hvor: ui = retur på dagen isi = aksjekurs på dagen isi − 1 = aksjekurs dagen før dag i \ begynne {justert} & u_i = ln \ frac {s_i} {s_ {i - 1}} \\ & \ textbf {hvor:} \\ & u_i = \ text {return on day} i \\ & s_i = \ text {aksjekurs på dagen} i \\ & s_ {i - 1} = \ text {aksjekurs dagen før dag} i \\ \ slutt {justert} ui = lnsi − 1 si hvor: ui = retur på dagen isi = aksjekurs på dagen isi − 1 = aksjekurs dagen før dag i

Dette gir en serie med daglig avkastning, fra u _i til u _im, avhengig av hvor mange dager (m = dager) vi måler.

Det får oss til det andre trinnet: Det er her de tre tilnærmingene er forskjellige. I forrige artikkel viste vi at under et par akseptable forenklinger er den enkle variasjonen gjennomsnittet av de kvadratiske avkastningene:

varians = σn2 = 1mΣi = 1mun − 12 hvor: m = antall dager måltn = dagiu = forskjell på avkastning fra gjennomsnittlig avkastning \ begynne {justert} & \ tekst {varians} = \ sigma ^ 2_n = \ frac {1} { m} \ Sigma ^ m_ {i = 1} u ^ 2_ {n - 1} \\ & \ textbf {hvor:} \\ & m = \ tekst {antall dager målt} \\ & n = \ text {day} i \\ & u = \ tekst {forskjell i avkastning fra gjennomsnittlig retur} \\ \ slutt {justert} varians = σn2 = m1 Σi = 1m un − 12 hvor: m = antall dager målt n = dayiu = forskjell avkastning fra gjennomsnittlig avkastning

Legg merke til at dette summerer hver av periodiske avkastninger, og deler deretter det totale med antall dager eller observasjoner (m). Så det er egentlig bare et gjennomsnitt av den kvadratiske periodiske avkastningen. Sagt på en annen måte, hver firkantet retur får en like stor vekt. Så hvis alfa (a) er en vektingsfaktor (spesifikt a = 1 / m), ser en enkel varians noe slik ut:

EWMA forbedrer på enkel variant
Svakheten ved denne tilnærmingen er at alle avkastning tjener samme vekt. Gårsdagens (veldig nylige) avkastning har ikke mer innflytelse på variansen enn forrige måneds avkastning. Dette problemet løses ved å bruke det eksponentielt vektede glidende gjennomsnittet (EWMA), der nyere avkastning har større vekt på variansen.

Det eksponentielt veide glidende gjennomsnittet (EWMA) introduserer lambda, som kalles utjevningsparameteren. Lambda må være mindre enn en. Under denne betingelsen, i stedet for like vekter, vektes hver firkantet retur med en multiplikator som følger:

For eksempel pleier RiskMetrics ^TM _, et finansielt risikostyringsselskap, å bruke en lambda på 0, 94, eller 94%. I dette tilfellet vektes den første (siste) kvadratiske periodiske avkastningen med (1-0, 94) (. 94) ⁰ = 6%. Den neste kvadratiske returen er ganske enkelt et lambda-multiplum av den tidligere vekt; i dette tilfellet 6% ganget med 94% = 5, 64%. Og den tredje dagen før vekten tilsvarer (1-0, 94) (0, 94) ² = 5, 30%.

Det er betydningen av "eksponentiell" i EWMA: hver vekt er en konstant multiplikator (dvs. lambda, som må være mindre enn en) av vekt før dagen. Dette sikrer en varians som er vektet eller partisk mot nyere data. Forskjellen mellom ganske enkelt flyktighet og EWMA for Google vises nedenfor.

Enkel flyktighet veier effektivt hver periodiske avkastning med 0, 196% som vist i kolonne O (vi hadde to års daglig kursdata. Det er 509 daglige avkastninger og 1/509 = 0, 196%). Men legg merke til at kolonne P tillegger en vekt på 6%, deretter 5, 64%, deretter 5, 3% og så videre. Det er den eneste forskjellen mellom enkel varians og EWMA.

Husk: etter at vi summerer hele serien (i kolonne Q) har vi variansen, som er kvadratet til standardavviket. Hvis vi ønsker volatilitet, må vi huske å ta firkanten av den variansen.

Hva er forskjellen i daglig volatilitet mellom variansen og EWMA i Googles tilfelle ">

Dagens variasjon er en funksjon av tidligere dags varians

Du vil merke at vi trengte å beregne en lang rekke eksponentielt synkende vekter. Vi vil ikke gjøre matematikken her, men en av de beste funksjonene i EWMA er at hele serien praktisk reduseres til en rekursiv formel:

σn2 (ewma) = λσn2 + (1 − λ) un − 12 hvor: λ = vektingsgraden reduseresσ2 = verdi i tidsperioden nu2 = verdien av EWMA i tidsperioden n \ begynne {justert} & \ sigma ^ 2_n (ewma) = \ lambda \ sigma ^ 2_ {n} + (1 - \ lambda) u ^ 2_ {n - 1} \\ & \ textbf {hvor:} \\ & \ lambda = \ text {vektingsgraden synker} \ \ & \ sigma ^ 2 = \ text {verdi i tidsperioden} n \\ & u ^ 2 = \ tekst {verdi av EWMA i tidsperioden} n \\ \ end {alignet} σn2 (ewma) = λσn2 + (1 − λ) un − 12 hvor: λ = vektingsgraden reduseresσ2 = verdi i tidsperioden nu2 = verdien av EWMA i tidsperioden n

Rekursiv betyr at dagens variansreferanser (dvs. er en funksjon av den forrige dagens varians). Du kan finne denne formelen i regnearket, og den gir nøyaktig samme resultat som longhandberegningen! Den sier: dagens varians (under EWMA) tilsvarer gårsdagens varians (vektet av lambda) pluss gårsdagens kvadratiske avkastning (veid med en minus lambda). Legg merke til hvordan vi bare legger to begreper sammen: gårsdagens vektede varians og gårdagens vektede, firkantede avkastning.

Likevel er lambda vår jevneparameter. En høyere lambda (f.eks. Som RiskMetrics 94%) indikerer langsommere forfall i serien - relativt sett vil vi ha flere datapunkter i serien, og de kommer til å "falle av" saktere. På den annen side, hvis vi reduserer lambda, indikerer vi høyere forfall: vektene faller raskere av, og som et direkte resultat av det raske forfallet, blir det brukt færre datapunkter. (I regnearket er lambda et innspill, slik at du kan eksperimentere med følsomheten).

Sammendrag
Volatilitet er øyeblikkelig standardavvik for en aksje og den vanligste risikomåling. Det er også kvadratroten av varians. Vi kan måle varians historisk eller implisitt (underforstått volatilitet). Når du måler historisk, er den enkleste metoden enkel varians. Men svakheten med enkel varians er at alle avkastninger får samme vekt. Så vi står overfor en klassisk avveining: vi vil alltid ha mer data, men jo mer data vi har, jo mer blir vår beregning utvannet med fjerne (mindre relevante) data. Det eksponentielt veide glidende gjennomsnittet (EWMA) forbedrer den enkle variansen ved å tilordne vekter til den periodiske avkastningen. Ved å gjøre dette kan vi begge bruke en stor prøvestørrelse, men også gi større vekt til nyere avkastning.